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Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Sistemas de Controlo: Realimentação Objectivos gerais Estabilidade de entrada.

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1 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Sistemas de Controlo: Realimentação Objectivos gerais Estabilidade de entrada limitada /saída limitada Critério de Routh-Hurwitz Realimentação Rejeição de perturbaçoes Sensibilidade à variação de parâmetros Erro em regime permanente

2 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Sistemas de Controlo Bom seguimento do sinal de referência Boa rejeição dos efeitos das perturbações Rapidez de resposta Estabilidade Pequena sensibilidade à variação de parâmetros Robustez de estabilidade Objectivos Gerais:

3 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Estabilidade O sistema é estável (de entrada limitada/saída limitada) sse a toda a entrada limitada corresponder uma saída limitada SLIT causal estável: nº polos nº zeros Todos os polos têm parte real negativa (SPCE) Um sistema estável permanece em repouso a menos que lhe seja aplicada uma entrada ou perturbação exterior, e regressa à situação de repouso após terminada a perturbação.

4 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie regime transitórioresposta estacionária Estabilidade Exemplo: resposta ao escalão unitário

5 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Estabilidade Regime transitório tende para zero Sistema estável Polo em (SPCE) Regime transitório tende para infinito Sistema instável Polo em (SPCD)

6 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Estabilidade Todos os polos de no SPCE Regime transitório tende para zero Estabilidade Existe pelo menos 1 polo de no SPCD Regime transitório tende para infinito Instabilidade Regime transitório é um sinal limitado Polos simples Estabilidade marginal ou crítica Instabilidade Polos múltiplos Regime transitório é um sinal ilimitado Polos de no SPCE e sobre o eixo imaginário

7 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Critério de Routh-Hurwitz Estabelece a localização das raízes de um polinómio relativamente ao eixo imaginário Teste de Hurwitz Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que: 1. ; 2., os coeficientes tenham todos o mesmo sinal.  Se 1 ou 2 não se verificar, então tem raízes no SPCD ou sobre o eixo imaginário  Se 1 e 2 se verificarem, então nada se pode concluir sobre a localização das raízes de

8 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Critério de Routh Critério de Routh-Hurwitz Teste de Hurwitz Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que: 1. ; 2., os coeficientes tenham todos o mesmo sinal. Têm pelo menos um polo no SPCD ou sobre o eixo imaginário Exemplos – não satisfaz a condição 2 – não satisfaz a condição 1 – satisfaz ambas as condições – nada se pode concluir

9 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie 2ª linha: 1ª linha: Critério de Routh-Hurwitz 1º passo: Matriz de Routh

10 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Critério de Routh-Hurwitz Matriz de Routh 2º passo: coluna pivot Critério de Routh: O número de raízes no SPCD é igual ao número de trocas de sinal nos coeficientes na coluna pivot. Se o teste de Hurwitz for verificado e não houver trocas de sinal na coluna pivot, então as raízes situam-se todas no SPCE

11 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I O teste de Hurwitz é verificado. nada a concluir Não há trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot todas as raízes no SPCE

12 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie dividir por 2 Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I Propriedade: Os coeficientes de uma linha da matriz de Routh podem ser multiplicados ou divididos por uma constante positiva sem alterar os sinais da coluna pivot

13 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Critério de Routh-Hurwitz Exemplo II O teste de Hurwitz é verificado. nada a concluir Duas trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot duas raízes no SPCD

14 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares (zero na coluna pivot) Um zero na coluna pivot Determinar a estrutura da matriz quando

15 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares Se os elementos da coluna pivot situados imediatamente antes e depois do zero têm o mesmo sinal, então existe um par de raízes imaginárias puras. Se os sinais forem opostos, então existe uma raíz no SPCD. existe uma raíz no SPCD existe mais uma raíz no SPCD

16 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Casos singulares (linha de zeros) Critério de Routh-Hurwitz Linha de zeros Indica a existência de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário

17 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Casos singulares (linha de zeros) Critério de Routh-Hurwitz Linha de zeros 1º passo: construir o polinómio auxiliar a partir dos coeficientes da linha anterior à linha de zeros 2º passo: a linha de zeros é substituída pelos coeficientes de Polinómio auxiliar

18 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Polinómio auxiliar Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares (linha de zeros) Se, a partir da linha de zeros, não houver trocas de sinal na coluna pivot, então existem raízes sobre o eixo imaginário. Caso contrário, o número de trocas de sinal indica o número de raízes no SPCD. Como não existem trocas de sinal na coluna pivot, conclui-se que a linha de zeros corresponde a raízes sobre o eixo imaginário. Como é de grau 4, existem 2 pares de raízes sobre o eixo imaginário. Como é de grau 5, existe ainda 1 raiz no SPCE. As raízes de são também raízes de.

19 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Critério de Routh-Hurwitz Exemplo Para que valores de é o sistema estável? Matriz de Routh: Sistema estável:

20 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie O efeito de sobre é tanto menor quanto maior for o ganho Não é possível atenuar o efeito de sobre Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção cadeia aberta cadeia fechada

21 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Rejeição de perturbações exemplo saída sem perturbação perturbação saída com perturbação

22 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção + ruído nos sensores ruído nos sensores Impossivel, sem qualquer outra restrição, obter simultaneamente um bom seguimento da referência e uma boa rejeição do ruído Na prática, a ocupação espectral dos sinais de referência e de ruído é normalmente diferente

23 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Sensibilidade à variação de parâmetros Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s): Quanto maior KGH menos sensível se torna a função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros no sistema, G(s), a controlar.

24 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Erro em regime estacionário Erro em regime estacionário: Sinal de erro: Sistema (em cadeia fechada) de tipo N – sistema cuja função de transferência em cadeia aberta tem N polos na origem. TVF:

25 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Erro em regime estacionário sinais de teste escalão rampa parábola - erro estático de posição - erro estático de velocidade - erro estático de aceleração

26 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Erro em regime estacionário Erro estático de posição (coeficiente de erro estático de posição)

27 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Erro em regime estacionário Erro estático de velocidade (coeficiente de erro estático de velocidade)

28 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Erro em regime estacionário Erro estático de aceleração (coeficiente de erro estático de aceleração)

29 Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Erro em regime estacionário r(t)r(t) y(t)y(t) r(t)r(t) y(t)y(t) r(t)r(t) y(t)y(t) r(t)r(t) y(t)y(t) r(t)r(t) y(t)y(t) r(t)r(t) y(t)y(t) r(t)r(t) y(t)y(t) r(t)r(t) y(t)y(t) r(t)r(t) y(t)y(t) t tt t t t t t t Tipo 0 Tipo1 Tipo 2


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