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PROFESSOR: Marciel da Silva.  Faremos agora um estudo sobre as Funções Exponenciais e Logarítmicas que tem aplicações em várias áreas do conhecimento,

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1 PROFESSOR: Marciel da Silva

2  Faremos agora um estudo sobre as Funções Exponenciais e Logarítmicas que tem aplicações em várias áreas do conhecimento, por exemplo, na Química quando se fala em radiatividade ou o cálculo de pH em ácidos.

3  Potência com expoente Natural – Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número a n que é igual ao produto de n fatores iguais a a.  Obs: a 0 = 1 e a n =a n-1.a

4  Inteiro negativo - Dado qualquer, devemos ter, para a≠0:  Racional – Dado e define-se potência de base a e expoente pela relação:

5  Irracional – Vamos dar significado às potências do tipo a n, em que, e o expoente n é um número irracional. Por exemplo,  Usamos aproximações racionais para. E assim obtemos

6  Real – Considerando que já foram definidos anteriormente as potências de base a ( ) e expoente n (n racional ou irracional) então já está definida a potência a n com e. São válidas as propriedades:

7 Definição: Dado um número real a (a > 0 e a≠1), denomina-se função exponencial de base a a uma função f de em definida por f(x) = a x ou y = a x. Exemplos

8  Vamos construir e analisar os gráficos das funções f(x) = 2 x e f(x) = (1/2) x. Podemos concluir então que:  D(f) =, CD(f) =, Im(f) = ;  O gráfico é uma curva chamada curva exponencial que passa por (0,1);  O gráfico não toca o eixo-x e não tem pontos nos quadrantes III e IV.

9  Para a > 1 a função é crescente;  Para 0 < a <1 a função é decrescente;  A função exponencial é sobrejetiva;  A função exponencial é injetiva;  A função exponencial é bijetiva;  A função exponencial é ilimitada superiormente.

10  São aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Exemplos:  Para resolver usamos o fato de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para a > 0 e a≠1, temos:

11  Vamos resolver as equações:

12  Definição  Dados os números reais positivos a e b, com a ≠1, se b = a c, então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja,  Com a e b positivos e a≠1.

13 1. log a 1 = 0 2. log a a = log a x = log a y⇔x = y

14

15  Dado um número real a (0 < a≠1) chamamos função logarítmica de base a a função de em que associa a cada x o número log a x. Em símbolos:

16  Vamos construir e analisar os gráficos das funções e. Conclusões:  O gráfico passa por (1,0);  O gráfico nunca toca o eixo-y e não ocupa pontos nos II e III quadrantes;  a > 1, a função é crescente;  0 < a < 1, a função é decrescente;  Somente números positivos tem logaritmo real;  A função logarítmica é bijetiva.

17  Os gráficos das funções f(x) = 2 x e g(x) = log 2 x são simétricas em relação a reta y = x (bissetriz dos quadrantes I e III).

18 1. Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma? 2. Em uma cultura de bactérias, a população dobra a cada hora. Se há 1000 bactérias no início da experiência, calcule quantas bactérias existirão depois de 10 horas.


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