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Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio-padrão e variância.

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1 Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio-padrão e variância

2 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados. Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados. Portanto, nesta aula, estudaremos essas medidas de dispersão. Antes, porém, revisaremos a média aritmética, para uma melhor compreensão desse tópico. INTRODUÇÃO

3 MÉDIA ARITMÉTICA (MA) A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados. Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10? REVISANDO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

4 SOLUÇÃO MA = ( )/5 MA = 30/5 MA = 6 Note que somamos os cinco números e dividimos pelo total deles, ou seja, por cinco. REVISANDO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

5 MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

6 Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema: MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

7 Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo: 1, 6, 4, 10, 9 SITUAÇÃO-PROBLEMA MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

8 A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é: MA = ( )/5 MA = 30/5 MA = 6 A média aritmética é 6. MÉDIA ARITMÉTICA MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

9 DESVIO Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores. Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:  desvio do valor = -5  desvio do valor = 0  desvio do valor = -2  desvio do valor = 4  desvio do valor = 3 Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

10 A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3, vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

11 DESVIO MÉDIO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

12 Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será: DM = (  -5  +  0  +  -2  +  4  +  3  )/5 DM = ( )/5 DM = 14/5 DM = 2,8 O desvio médio é 2,8. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância O módulo garante que o valor seja positivo. EXs.: a)  +3  = 3 b)  -3  = 3

13 VARIÂNCIA MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

14 Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição. Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será: V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)/5 V = ( )/5 V = 54/5 V = 10,8 A variância é 10,8. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

15 DESVIO PADRÃO MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

16 Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância: DP =  V No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP =  10,8  3,28. O desvio padrão é  3,28. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

17 OBSERVAÇÕES:  Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;  quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;  o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

18 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine: a)o desvio médio; b)a variância; c)o desvio padrão. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

19 SOLUÇÃO A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: MA = ( )/4 = 24/4 = 6 a) DM = (  2-6  +  4-6  +  6-6  +  12-6  )/4 = 12/4 = 3 b) V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)/4 = 56/4 = 14 c) DP =  14 = 3,74 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

20 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: a)a média aritmética; b)o desvio médio; c)a variância; d)o desvio padrão. JOGADORESLANÇAMENTOSACERTOS MÁRCIO 10 arremessos de cada jogador 6 MURIEL4 JONAS8 EDSON2 ROMUALDO7 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

21 SOLUÇÃO d) DP =  4,64 = 2,15 a) MA = ( )/5 = 27/5 = 5,4 b) DM = (  6-5,4  +  4-5,4  +  8-5,4  +  2-5,4  +  7-5,4  )/5 DM = 1,92 c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 V = 4,64 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

22 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas. Taxistassegundaterça quartaquinta I II III MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

23 SOLUÇÃO Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância. Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos: MA I = ( )/4 = 13,5 MA II = ( )/4 = 18,5 MA III = ( )/4 = 20,5 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

24 Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas. V I = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4  31,25 V II = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4  74,75 V III = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4  58,25 SOLUÇÃO Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

25 SOLUÇÃO Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o consumo dos carros dos três taxistas. DP I =  31,25  5,59 litros DP II =  74,75  8,64 litros DP III =  58,25  7,63 litros Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

26 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê? Oferta 1Oferta 2 Média Salarial890,00950,00 Mediana800,00700,00 Desvio Padrão32,0038,00 MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

27 SOLUÇÃO Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão. MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

28 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS  DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo,  IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo,  GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo,  PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, MATEMÁTICA, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância


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