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Profª Jusciane da Costa e Silva Momento Linear e Colisões.

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Apresentação em tema: "Profª Jusciane da Costa e Silva Momento Linear e Colisões."— Transcrição da apresentação:

1 Profª Jusciane da Costa e Silva Momento Linear e Colisões

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3 Momento Linear Colisão de um caminhão (18 rodas) e um carro. Os ocupantes de que carro ficará mais ferido? O que determina o manejo do taco de bilhar para produzir uma colisão entre as bolas de modo que a bola alvo entre na caçapa? Essas respostas não pode ser dadas aplicando as Leis de Newton, já que as forças atuantes não pode ser determinadas com exatidão.

4 considere uma partícula de massa m, como uma aceleração a = dv/dt a segunda lei de Newton afirma que: a força resultante que atua sobre a partícula é igual a derivada em relação ao tempo da grandeza (mv). Essa grandeza é chamada de Quantidade de movimento ou Momento Linear da partícula. Momento Linear e Impulso Direção e sentido coincidem com o da velocidade.

5 Portanto Momento Linear e Impulso uma variação rápida no momento linear necessita de uma força grande, enquanto uma variação lenta do momento linear necessita de uma força menor. Este principio é usado no air bag. Podemos expressar o momento de uma partícula em termos de suas coordenadas:

6 Momento Linear e Impulso Qual a diferença entre p = mv e k = 1/2 mv 2 já que ambos depende da massa e da velocidade? Matemática: o momento é um vetor cujo módulo depende da velocidade escalar, enquanto a energia cinética é uma grandeza escalar proporcional ao quadrado da velocidade escalar. Física: temos que definir uma grandeza intimamente relacionada com momento linear denominado IMPULSO. Consideremos uma F resultante atuando sobre uma partícula durante um intervalo de tempo t de t 1 e t 2. O impulso da força resultante, J, é definido como a força resultante atuante neste intervalo de tempo.

7 Impulso é uma grandeza vetorial, que possui mesma direção da força. S.I: N.s Para verificarmos a utilidade do conceito de impulso, vamos examinar a 2 lei de Newton em termos de momento linear. Quando F for constante dp/dt também será. Teorema do Impulso – momento linear. Momento Linear e Impulso

8 Teorema do Impulso – momento linear também é válido quando as forças não são constantes. Definição geral de Impulso. Podemos definir uma força média F med, de forma que mesmo quando a F R varia com o tempo, o impulso será Momento Linear e Impulso

9 Consideremos um gráfico da força resultante em função do tempo durante uma colisão. O impulso é a área embaixo da curva no intervalo no dado intervalo de tempo. Essa área é igual a área do retângulo cuja base é (t 2 – t 1 ) e a altura é F med. O impulso pode ser representado por suas coordenadas. Momento Linear e Impulso

10 Comparação entre momento e energia cinética Diferença fundamental entre momento e energia cinética. O teorema Impulso-momento linear J = P 2 – P 1 afirma que as variações do movimento da partícula são produzido pelo impulso, que depende do tempo durante a qual a F atua. No entanto, o teorema trabalho-energia cinética afirma que quando um W é realizado ocorre uma variação na K; o trabalho total depende da distância ao longo da qual a F resultante atua. Exemplo: Considere uma partícula que parte do repouso no instante t 1 de modo que v 1 = 0. Seu momento linear inicial é p = 0 e K = 0. Suponha agora que uma F R atua sobre a partícula entre os instantes t 1 e t 2. Durante esse intervalo a partícula se desloca uma distância d na direção da força. O momento linear da partícula no instante t 2 será O momento linear é igual ao impulso que acelera do repouso à sua velocidade atual. O impulso é igual ao módulo da F R que acelerou a partícula pelo tempo necessário para essa aceleração. Já a energia cinética em t 2 é K 2 = W T = fd, ou seja, é igual ao W T realizado sobre a partícula para acelerá-lo a partir do repouso.

11 Exemplo 02: Suponha que você tenha de escolher agarrar uma bola de 0.5 kg que desloca-se com uma velocidade de 4 m/s ou uma bola de 0,1 kg com v = 20 m/s. Qual das duas bolas seria mais fácil agarrar? Ambas possui o mesmo módulo p = mv = 0,5. 4 = 0,1. 20 = 2 kg m/s. Porém a K da bola maior é mais lenta, dada por K = 4 J enquanto K da bola menor é mais veloz, K = 20 J. Como ambas tem o mesmo momento, então as duas precisam do mesmo impulso para pará-la, contudo o W realizado por sua mão para fazer a bola menor pará é 5x maior do que a bola maior, já que a bola menor possui K cinco vezes maior do que a bola maior. Portanto, para uma dada F med exercida por sua mão, ela leva o mesmo tempo para fazer as bolas entrarem em repouso, porém o deslocamento de sua mão e do seu braço é cinco vezes maior para agarrar a bola mais leve.

12 Conservação do Momento Linear O conceito de momento linear é particularmente importante quando ocorre interação entre dois ou mais corpos. F int = a força que uma partícula de um sistema exerce sobre a outra. F ext = a força exercida por um corpo no exterior do sistema sobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.

13 No caso dos astronautas, a força que o astronauta A exerce sobre o B é F AB e força que B exerce sobre A F BA não existe nenhuma força externa, e dizemos que se trata de um sistema isolado As forças resultantes de F AB e F BA são Os momentos linear de cada partícula varia, porém estas variações não são independentes. Pela 3 Lei de Newton F AB = -F BA de modo que F AB + F BA =0 As taxas das variações do momento também são iguais e contrárias, de modo que d/dt(p A + p B )= 0.

14 Portanto o momento linear total P será Obtemos finalmente a taxa de variação do momento linear total P é igual a zero. Portanto o momento linear total do sistema é constante, embora o momento linear de cada partícula possa variar. Quando forças externas estão presentes, deverão ser incluídas na equação acima, neste caso o momento linear total não permanece constante. Porém, quando a soma vetorial das forças externas é igual a zero, o momento total volta a ser conservado.

15 Para um número qualquer de partículas A, B, C,... que interagem apenas mediante a forças internas. O momento total do sistema é a taxa de variação do momento linear total produzida pela soma de cada par de ação e reação das forças internas entre as partículas é igual a zero. quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre um sistema de partícula é igual a zero, o momento linear total do sistema permanece constante Conservação do momento linear. Ponto importante é que sua aplicação não depende da natureza detalhada das forças internas entre as partículas do sistema.

16 Colisão Uma colisão é uma interação com duração limitada entre dois ou mais corpos. Bola de bilhar, acidente de carro e meteoro e a terra. Numa Colisão há troca de momento e energia em conseqüência de sua interação. Veremos colisões envolvendo apenas dois corpos que estarão livres que qualquer força externa, ou seja, a força externa será menor que as forças envolvidas nas colisões e portanto desprezíveis.

17 Colisões O momento linear do sistema é conservado, já que as forças externas resultante são desprezíveis. Momento linear final será igual ao momento linear inicial. Se a energia total não for alterada pela colisão, então K do sistema é conservada (mesma antes e depois da colisão). Tal colisão é chamada Colisão Elástica. Ex: meteoro e bilhar. Em colisões do cotidiano, alguma energia é transferida da K para outras formas de energia, como sonora e térmica. Dessa forma a energia total do sistema não se conserva. Tal colisão é chamada de Colisão inelástica. Ex: Colisão de automóveis.

18 Colisões Inelásticas (1D) Consideremos dois corpos imediatamente antes e imediatamente depois de sofrerem uma colisão unidimensional. Podemos escrever a lei de conservação do momento linear como Podemos reescrever como Se conhecermos as massas e a velocidade inicial, saberemos a velocidade final.

19 Consideremos dois corpos de massas m 1 e m 2, onde m 1 > m 2 e com m 2 inicialmente em repouso (v 2i = 0). Nos referiremos ao corpo parado como alvo e ao corpo incidente como projétil. Após a colisão os corpos grudam e se movem com velocidade V. Note que V deve ser menor que a velocidade inicial. Colisões Inelásticas (1D) Colisão completamente inelástica

20 Colisões Inelásticas (1D) Demonstrar que a energia K total depois da colisão inelástica é menor do que antes da colisão. As energias K antes e depois da colisão é a razão entre a energia cinética final e inicial é O membro direito é sempre menor do que 1 porque o denominador é sempre maior que o numerador.

21 Conservação da Energia Mecânica Exemplo 03: Pêndulo balístico (mede a velocidade da bala). Conservação do momento Conservação da Energia dai

22 Colisões Elásticas As forças que atuam numa colisão elástica são forças conservativas. Em uma colisão elástica a energia cinética de cada corpo pode variar, no entanto a K total não pode variar. Colisão elástica entre dois corpos A e B. Começamos com uma colisão 1D. Pela conservação do momento e da energia cinética, temos Se conhecermos as massas e as velocidades iniciais, podemos encontrar as velocidades finais.

23 Consideremos o caso em que uma das partículas está em repouso B antes da colisão. Aplicando a conservação da energia e momento Reescrevendo obtemos Colisões Elásticas

24 Massas iguais Alvo maciço Projétil maciço Colisão elástica frontal, o corpo 1 para abruptamente e o 2 segue com a v inicial do corpo 1. O corpo 1 é rebatido com v inicial e o 2 move-se com a v muito baixa O corpo 1 continua se mover com v, e o corpo 2 dispara para frente com v aproximadamente o dobro da v inicial da bola 1.

25 Colisões Elásticas – Alvo móvel - Examinar a situação na qual dois corpos estão em movimento antes de colidirem elasticamente um no outro. - A conservação do momento linear - Conservação do momento - Usando alguma álgebra

26 Colisões em Duas Dimensões Quando dois corpos colidem, o impulso entre o mesmos determina os sentidos que os mesmos seguem após a colisão. Quando a colisão não é frontal, os corpos não seguem ao longo de seus eixos originais. Para colisões bidimensionais num sistema isolado, o momento linear deve ser conservado Se a colisão for elástica, K conserva Escrevendo o momento em termo de suas componentes:

27 Centro de Massa Reformular a Lei de Conservação em termos do conceito Centro de Massa. Centro de Massa (CM) de um sistema de partícula é o ponto que se move como se ali (1) toda massa do sistema estivesse concentrada e (2) todas as forças externas fosse aplicadas. Veremos: Localizar o CM em sistema com poucas partículas; Sistemas com o grande número de partículas; Como o CM se move quando forças externas atuam sobre o mesmo.

28 Centro de Massa Sistema de Partículas Consideremos duas partículas de massas m 1 e m 2 separadas por uma distância d Escolhemos a origem de um eixo x que coincidindo com a massa m 1 definimos a posição do CM desse sistema de duas partículas como

29 Centro de Massa Se m 2 = 0, só tem uma partícula, e o CM deve estar na posição desta partícula; x CM = 0. Se m 1 = 0, de novo teremos só uma partícula e x CM = d. Se m 1 = m 2, o CM deve está a meia distância entre as duas partículas; x CM = ½ d. Se m 1 e m 2 0, então o CM estará entre 0 e d, ou seja, o CM estará em algum lugar entre as duas partículas Situação mais geral. Se x 1 = 0, então x 2 = d.

30 Centro de Massa Sistemas de n-partículas Consideremos diversas partículas cujas massas são m 1, m 2, m 3,...m n. Suponha que as coordenadas de m 1 sejam (x 1, y 1 ), as de m 2 sejam (x 2,y 2 ) e assim por diante. Definimos o CM como O vetor posição pode ser escrito como

31 Centro de Massa Corpos Sólidos Em um bastão de beisebol, contém tantas partículas que nos permite tratá-lo melhor como uma distribuição contínua de massa. As partículas são representadas por elementos de massa dm, e portanto a soma se transforma em integral Quando o corpo homogêneo possui um centro geométrico (cubo, circulo), o CM coincide com o centro geométrico. Quando o corpo possui eixo de simetria (polia) o CM está sempre situado no eixo. O centro de massa não existe somente na parte maciça do corpo, o CM da rosca está situado exatamente no centro do buraco.

32 Movimento do Centro de Massa O que ocorre com o CM quando as partículas se movem? vetorialmente Representando a soma das massas m 1 + m 2 + m n = M, temos o momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa.

33 Movimento do Centro de Massa Para um sistema de partículas onde a F ext = 0, o momento é constante, e a velocidade do centro de massa também é constante. Suponha que você marque o CM de uma chave inglesa, situado em um ponto entre a extremidade e o punho da chave. E a seguir coloque a chave em movimento. Apesar de achar o movimento complicado, verá que o movimento do CM segue em linha reta, como se toda a massa estivesse concentrada neste ponto.

34 Forças Externas e Movimento CM Quando a força externa resultante sobre um sistema de partículas não é igual a zero, então o momento linear não se conserva e a velocidade do centro de massa deve variar. derivando a última equação, temos Onde m 1 a 1 é a força que atua sobre a partícula m 1 e assim por diante, e portanto o lado direito é igual a soma de todas as forças externas que atuam sobre as partículas. Onde o somatório de todas as forças é Pela terceira lei de Newton todas as forças internas se cancelam aos pares.

35 Forças Externas e Movimento CM Só restam as forças externas, portanto Quando forças externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjunto de partículas, o centro de massa se move exatamente como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto, e estivesse submetida a uma força igual à resultante de todas as forças que atuam sobre o sistema. Resultado importante, pois sem ele nós não podíamos representar uma distribuição contínua como algo puntiforme.

36 Forças Externas e Movimento CM Suponha um projétil disparado por um canhão esteja descrevendo uma trajetória parabólica. Os fragmentos seguem novas trajetórias parabólicas, porem o CM continua a descrever sua trajetória original, exatamente como se todas a massa estivesse ainda concentrada mo CM.


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