Coordenadas cartesianas

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2 Coordenadas cartesianas
Para localizar pontos num plano, usamos o referencial cartesiano. Indicamos um par ordenado de números reais como: primeira coordenada (abscissa) segunda coordenada (ordenada) (a,b) P(a,b) y x (0, y) (x, 0) b a Sistema de eixos ortogonais O sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, que têm a mesma origem O. Um plano munido de um sistema de eixos ortogonais é chamado de plano cartesiano.

3 Localize no plano cartesiano abaixo os pontos:
Cada par ordenado de números reais corresponde a um ponto do plano cartesiano e, reciprocamente, a cada ponto do plano corresponde um par ordenado de números reais. Localize no plano cartesiano abaixo os pontos: A (4,1) y B (1,4) 4 3 2 1 B C (‒2, ‒3) F D (2, ‒2) A E (‒1,0) E O x F (0,3) ‒4 ‒3 ‒2 ‒1 ‒1 ‒2 ‒3 O (0,0) D C

4 Explorando intuitivamente a noção de função
A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. Considere a tabela abaixo: Número de litros Preço a pagar (R$) 1 2,60 2 5,20 3 7,80 4 10,40 40 104,00 x 2,60x O preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados. Preço (p) a pagar = 2,60 vezes o número de litros comprados. p = 2,60x

5 Noção de função por meio de conjuntos
Observe os conjuntos A e B. Devemos associar cada elemento de A a seu triplo em B. A B ‒8 ‒6 ‒4 ‒3 3 6 7 ‒2 • ‒1 • 0 • 1 • 2 • Quais características da relação entre esses conjuntos você notou? Todos os elementos de A têm correspondentes em B. Cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.

6 Observe esses conjuntos. Eles são funções?
Cada elemento de A é menor do que um elemento de B. 0 • 4 • 2 3 5 A B Não é função, pois o elemento 0 de A corresponde a 3 elementos de B. ‒4 • ‒2 • 0 • 2 • 4 • 2 4 6 8 A B Cada elemento de A tem o mesmo valor que um elemento de B. Não é função, pois há elementos de A que não têm correspondentes em B.

7 Portanto, essa correspondência é uma função de A em B.
A correspondência entre A e B é dada pela fórmula y = x4. ‒2 • ‒1 • 0 • 1 • 2 • 1 4 8 16 Todos os elementos de A possuem correspondentes em B. Cada elemento de A corresponde a um único elemento de B. A B Portanto, essa correspondência é uma função de A em B.

8 Usamos a seguinte notação:
Definição e notação Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento x A a um único elemento y B. Usamos a seguinte notação: f: A B ou A B f Lê-se: f é uma função de A em B. A função f transforma x de A em y de B. • x y f y = f(x) Lê-se: y é igual a f de x. A B

9 Domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função
Dada uma função f de A em B. O conjunto A chama-se domínio (D) da função. Para cada x de A, o elemento y de B chama-se imagem de x pela função f. • x y f A B O conjunto de todos os y é chamado conjunto imagem da função f e é indicado como Im(f). O conjunto B chama-se contradomínio (CD) da função.

10 Gráficos de funções O gráfico de uma função ajuda a analisar a variação de grandezas, uma dependendo da outra. Construção de gráficos de funções Vamos construir o gráfico de uma função: 1) Construa uma tabela com valores x escolhidos convenientemente e seus respectivos correspondentes y. 2) A cada par ordenado (x,y) da tabela, associar um ponto do plano determinado pelos eixos x e y. 3) Marcar um número suficiente de pontos até que seja possível esboçar o gráfico da função.

11 A função é y = 2x + 1, com x real
Agora que você já sabe como proceder para construir um gráfico, vejamos um exemplo: x y = 2x + 1 (x, y) ‒2 ‒3 (‒2, ‒3) ‒1 (‒1, ‒1) 1 (0,1) 3 (1,3) 2 5 (2,5) A função é y = 2x + 1, com x real Como x varia no conjunto dos números reais, escolhemos alguns valores arbitrários para x e obtemos os valores correspondentes para y. y 5 y = 2x +1 Com os pares ordenados (x, y) obtidos, podemos localizá-los no plano cartesiano. 3 1 x ‒2 ‒1 1 2 ‒1 ‒2 Unindo os pontos, obtemos a reta que representa a função y = 2x + 1. ‒3

12 É uma função somente para 1 ≤ x ≤ 4.
Reconhecendo se um gráfico é de uma função Para uma função existir, é necessário que para qualquer x de um conjunto de valores corresponda um único y, de outro ou do mesmo conjunto de valores. Ou seja, no gráfico de uma função, qualquer perpendicular ao eixo x deve intersectar o gráfico sempre em um único ponto. Observe os exemplos: É uma função somente para 1 ≤ x ≤ 4. É uma função. Não é uma função.

13 Função afim Conceito de função afim
Função afim é toda função de em cuja lei de formação pode ser indicada por y = ax + b, com a e b reais. Exemplos de função afim: y = ‒x + 6 y = 2x ‒ 7 a = ‒1 e b = 6 a = 2 e b = ‒7 y = 4x a = 4 e b = 0

14 O gráfico de uma função afim
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta não perpendicular ao eixo x. Como dois pontos determinam uma reta, basta encontrar apenas dois de seus pontos para traçá-la. y x y = 5x ‒ 6 1 4 2 ‒1 ‒4 Exemplo: x y = 5x ‒ 6 1 ‒1 2 4 A reta do gráfico “corta” o eixo x no ponto ( ,0), pois para: y = x – 6 = x = A reta do gráfico “corta” o eixo y no ponto (0, ‒6), pois para: x = y = ‒ y = ‒ 6

15 Ângulo de declividade da reta de uma função afim
O ângulo correspondente a um giro no sentido anti-horário, partindo do eixo x até a reta que corresponde ao gráfico de uma função afim, é chamado de ângulo de declividade da reta. y x y x Quando a é positivo em y = ax + b, é um ângulo agudo. Quando a é negativo, é um ângulo obtuso.

16 Um caso particular de função afim: a função linear
Uma função com lei de formação do tipo y = ax, com a real e a 0, é chamada de função linear. A função linear é um caso particular da função afim, pois y = ax equivale a y = ax + b, com a 0 e b = 0. y = 2x + 5 y = 3x É função afim mas não é função linear. É função afim que é função linear. O gráfico de uma função linear y = 2x y x O gráfico de uma função linear também é uma reta mas com uma característica própria: a reta corta os eixos na origem (0,0).

17 Ou seja, cada número real corresponde a ele próprio.
Função identidade A função linear que faz corresponder a cada x (real) um y tal que y = x é chamada de função identidade. Ou seja, cada número real corresponde a ele próprio. y y = x x CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA Função linear e proporcionalidade As funções do tipo y = ax, com a 0, x e y reais, apresentam proporcionalidade direta entre os valores de x e y.

18 Estudo do sinal da função afim
Fazer um estudo sobre o sinal de uma função afim consiste em determinar os valores de x do domínio para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0 Zero da função afim O valor de x para o qual a função f(x) = ax + b, a 0, se anula, ou seja, para o qual f(x) = 0, denomina-se zero da função afim. Para determinar esse valor, basta resolver a equação ax + b = 0. f(x) = ax + b = ax = ‒b x = ‒ Interpretação geométrica Geometricamente, o zero da função afim é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo x.

19 O coeficiente b em y = ax + b
Na função afim y = ax + b, quando x = 0, temos que y = b, ou seja, b é o valor da função quando x = 0. O gráfico intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b). Estudo do sinal da função pela análise do gráfico a < 0 (função crescente) a < 0 (função decrescente) x y (r,0) imagens positivas negativas y x (r,0) imagens positivas negativas Dispositivo prático: x + ‒ r Dispositivo prático: x + ‒ r x = r f(x) = 0 x > r f(x) > 0 x < r f(x) < 0 x = r f(x) = 0 x > r f(x) < 0 x < r f(x) > 0

20 Você já viu esse conteúdo: vamos relembrar com um exemplo?
2x > x > S = x | x > Podemos resolver também por meio do estudo do sinal da função afim: 2x – 5 > 0, em f(x) x > f(x) > 0 2x – 5 = x = x = (zero) S = x | x > + ‒ x

21 Função quadrática Conceito de função quadrática
Função quadrática é toda função de em cuja lei de formação pode ser indicada por y = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a Exemplos: y = 3x2 ‒ 2x + 5 y = ‒x2 + 5x + 6 a = 3, b = ‒2 e c = 5 a = ‒1, b = 5 e c = 6 y = 6x2 y = ‒4x2 ‒ 3x a = 6, b = 0 e c = 0 a = ‒4, b = ‒3 e c = 0

22 Valor de uma função quadrática em um ponto
Dada uma função y = ax2 + bx + c, pode-se ter um valor de x e determinar o y ou ter um y e determinar o x. Vejamos exemplos: Considere a função: Considere a mesma função. Dado x = 2, vamos calcular y. y = x2 ‒ 5x + 6 Dado y = 0, vamos calcular x. y = 22 – 0 = x2 – 5 . x + 6 y = 4 – x2 – 5x + 6 = 0 y = 0 Então, para x = 2, y = 0. Então, para y = 0, x = 3 ou x = 2.

23 Zeros de uma função quadrática
Damos o nome de zeros de uma função quadrática, dada por y = ax2 + bx + c (a 0), aos valores reais de x que anulam y, quando existirem. Exemplo: Considere a função: y = x2 ‒ 9x + 20 = b² ‒ 4ac = (‒9)² ‒ = 81 – 80 = 1 x′ = 5 x = = = x″ = 4

24 Gráfico de uma função quadrática
Quanto mais valores escolhemos para x, mais fácil fica o traçado da parábola. eixo de simetria x y V(1, ‒4) vértice da parábola = Exemplo: x 4 3 2 1 ‒1 ‒2 y 5 ‒3 ‒4 A parábola apresenta simetria. O eixo de simetria da parábola é sempre perpendicular ao eixo x. O encontro da parábola com o seu eixo de simetria é o vértice da parábola.

25 Gráfico da função quadrática e os coeficientes a, b, c
Coeficiente a Responsável pela concavidade e abertura da parábola. Se a > 0, a concavidade é para cima. Se a < 0, a concavidade é para baixo. Quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola, independentemente da concavidade. a < 0 x y = ‒5x² y = ‒2x² y = ‒x² y y = ‒ x² y = ‒ x² a > 0 y y = 5x² y = 2x² y = x² y = x² y = x² x

26 Se b > 0, a parábola cruza o eixo y no ramo crescente.
Coeficiente b Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola, no sentido da esquerda para a direita. x y Se b > 0, a parábola cruza o eixo y no ramo crescente. x y Se b < 0, a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente. x y Se b = 0, a parábola cruza o eixo y no vértice.

27 Indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y.
Coeficiente c x y c Indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y. A parábola cruza o eixo y no ponto (0,c). A parábola e suas intersecções com os eixos Dada a equação y = x2 – 2x + 1, vejamos como calcular os pontos de intersecção: Intersecção com eixo y: x y (1, 0) (0, 1) x = y = 0² – y = 1 A parábola intersecta o eixo y em (0,1). Intersecção com eixo x: y = x² – 2x + 1 = 4 – 4 = = 0 x = = 1

28 Vértice da parábola, valor máximo ou valor mínimo da função quadrática
O vértice de uma parábola dada por y = ax2 + bx + c (a 0) é determinado por: V – , – Exemplo: Dada a equação y = 2x2 – 8x, vamos calcular o vértice: = b2 – 4ac = (–8)2 – = 64 Todos os valores da função são maiores do que –8! V – , – = V(2, ‒8) A função quadrática y = 2x2 – 8x assume valor mínimo –8 quando x = 2.

29 Estudo do sinal da função quadrática
Estudar o sinal da função quadrática significa determinar os valores reais de x para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0. a função admite dois zeros reais diferentes, x’ e x’’ ; a parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos. a > 0 a < 0 + – x’ x” + – x’ x” f(x) = 0 para x = x″ ou x = x′ f(x) = 0 para x = x″ ou x = x′ f(x) > 0 para x < x″ ou x > x′ f(x) > 0 para x″ < x < x′ f(x) < 0 para x″ < x < x′ f(x) < 0 para x < x’’ ou x > x′

30 a função admite um zero real duplo x’ = x’’ ;
Assim, quando > 0, f(x) tem sinal oposto ao de a quando x está entre as raízes da equação, e tem o sinal de a quando x está fora do intervalo das raízes. a função admite um zero real duplo x’ = x’’ ; a parábola que representa a função tangencia o eixo x. a > 0 a < 0 – x’ = x” + x’ = x” f(x) = 0 para x = x′ = x″ f(x) = 0 para x = x′ = x″ f(x) > 0 para x x′ f(x) < 0 para x x′

31 a função não admite zeros reais;
Assim, quando = 0, f(x) tem o sinal de a para x diferente da raiz da equação. a função não admite zeros reais; a parábola que representa a função não intersecta o eixo x. a > 0 a < 0 – – – – – – – – – f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real Assim, quando < 0, f(x) tem o sinal de a para qualquer valor real de x.

32 Vamos resolver a inequação x2 – 3x + 2 < 0:
Desigualdades como: x2 – 5x + 6 > 0 3x2 < 0 (x ‒ 3)(x + 3) < 0 Isso significa determinar os valores reais de x para os quais a função f(x) = x2 – 3x + 2 assume valores negativos. Vamos resolver a inequação x2 – 3x + 2 < 0: a = 1 > 0; a > 0 = (–3)² – = 9 – 8 = 1 > = 0 – + 1 2 x As raízes da equação x2 – 3x + 2 são x′ = 1 e x″ = 2. Como queremos f(x) < 0 então S = {x | 1 < x < 2}.

33 Note que ambas as razões têm o mesmo valor!
Retomando as ideias de razão e proporção Razão Em uma classe, há 15 meninos e 20, meninas totalizando 35 alunos. Qual a razão de meninos e o número total de alunos da classe? Lembrando que... razão entre dois números, com o segundo diferente de zero, é o quociente do primeiro pelo segundo. A razão é indicada por 15:35 ou por Seu valor na forma irredutível é . Outros exemplos: A razão entre 5 e 8 é . A razão entre 0 e 9 é ou 0. A razão entre 10 e 25 é ou . A razão entre 6 e 15 é ou . Note que ambas as razões têm o mesmo valor!

34 6 e 15. Ambas são equivalentes a .
Proporção No exemplo anterior, você viu que a razão entre 10 e 25 é igual à razão entre 6 e 15. Ambas são equivalentes a . Esse é o coeficiente de proporcionalidade. Duas razões de mesmo valor formam uma proporção. Indicamos essa proporção como: 6 e 25 são os meios dessa proporção. 10 e 15 são os extremos dessa proporção. = Observe que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. = 150 = 150 Esse fato se repete em todas as proporções e é conhecido como propriedade fundamental das proporções.

35 Razão entre segmentos e segmentos proporcionais
Observe os segmentos. Como podemos calcular a razão entre eles? A B 4 cm C D 6 cm É só calcular a razão entre as medidas de comprimento em uma mesma unidade. Assim, a razão entre e : = Imagine agora dois outros segmentos de 10 cm e de 15 cm. A razão entre eles é , que também é igual a . = Dizemos que , , e , nessa ordem, são segmentos proporcionais, pois = = . coeficiente de proporcionalidade.

36 Proporcionalidade na circunferência: o número pi ( )
Comprimento: C2 Diâmetro: d2 d1 Comprimento: C1 Diâmetro: d1 A razão entre a medida do comprimento e a medida do diâmetro em quaisquer circunferências é sempre a mesma. = Você sabe qual é o valor dessa razão?

37 A divina proporção: o número de ouro
LOSKUTNIKOV / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES DUSAN JANKOVIC / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES KEVIN SUMMERS / GETTY IMAGES O que uma estrela do mar, um girassol e a concha de um molusco náutilo têm em comum? Esses são apenas alguns dos diversos exemplos encontrados na natureza que têm como proporção o número de ouro. Esse número foi utilizado ao longo dos séculos por muitos matemáticos, cientistas e artistas, pois acreditava-se que ele possuía propriedades mágicas, além de representar beleza, perfeição e harmonia.

38 Considere um segmento de reta a seguir cuja medida seja 1.
B x 1 – x Pode-se dividir o segmento em um ponto C, tal que a razão entre o segmento todo e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a parte menor. = , ou seja: = x2 = 1 – x x2 + x – 1 = 0 Resolvendo essa equação, o resultado positivo é x = Consideremos a razão: 8 13 = = = Esse número irracional, cujo valor aproximado é 1,618034, é conhecido como número de ouro, ou ainda, razão áurea.

39 Proporcionalidade e escala
Mapas, maquetes e plantas de construções possuem dimensões proporcionais à realidade que são definidas por uma escala. No mapa ao lado, a escala utilizada é de 1: Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar. 5. ed. Rio de Janeiro, 2009. Lembrando que cm = m = 10 km. Professor: Com a finalidade de melhorar a leitura, a escala está fora de proporção. Então podemos dizer que, nessa escala, 1 cm no mapa corresponde a 10 km na realidade.

40 Feixe de retas paralelas e o teorema de Tales
Duas ou mais retas num mesmo plano formam um feixe de retas paralelas quando, tomadas duas a duas, são sempre paralelas. Note que, na figura ao lado, as retas r, s e t formam um feixe de retas, pois r // s, s // t e r // t. r s t Denotamos então que r // s // t . Se uma reta corta uma das retas de um feixe de paralelas, então, ela corta também as demais. t a b c d Na figura ao lado, a reta t corta o feixe de retas. Dizemos que essa reta é transversal ao feixe de paralelas.

41 Propriedade de um feixe de paralelas
Consideremos um feixe de retas paralelas em que todas as retas são equidistantes entre si e uma reta transversal ao feixe. A B C D h t a b c d A B C D t a b c d s E F G H Nesse caso, os segmentos são congruentes, ou seja, AB = BC = CD, pois os triângulos destacados são todos congruentes entre si (caso LLAo). Assim, = Traçando uma outra reta transversal s ao mesmo feixe de paralelas, chegaremos às mesmas conclusões. Assim, = Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra reta transversal.

42 Ou seja, AB, BC, EF, FG formam uma proporção.
Teorema de Tales Considere um feixe de três retas paralelas r, s e v cortado por uma reta transversal t. Traçamos uma outra reta qualquer u. Vamos calcular a razão entre AB e BC: A B C x t r s v 3x u E F G y = Se EF = y, vamos medir agora o tamanho de em função de y. = Assim, A partir das duas equações, pode-se concluir que: = Ou seja, AB, BC, EF, FG formam uma proporção.

43 Aplicações do teorema de Tales
Divisão de um segmento em partes iguais Acompanhe a construção ao lado, na qual o segmento é dividido em três partes iguais. A R′ S′ B 1) Traçamos uma semirreta com origem em A e que forma um ângulo agudo com R 2) Com uma abertura qualquer do compasso, obtemos os pontos R, S e P de modo que AR = RS = SP. S P 3) Ligamos P com B. 4) Traçamos a reta que passa por S, paralela a , obtendo S′. O teorema de Tales garante que , , são congruentes, pois e são duas transversais de um feixe de paralelas. 5) Traçamos a reta que passa por R, paralela a , obtendo R′.

44 Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo. Começamos prolongando e traçando a semirreta com origem em C paralela à bissetriz , obtendo o ponto E. E A Como é paralela a , usando o teorema de Tales, temos: = Analisando a figura temos que: , B D C Assim, Então o triângulo ACE é isósceles de base . Logo, AE = AC. Substituindo em = , temos que =

45 Figuras semelhantes O que acontece quando ampliamos, reduzimos ou reproduzimos uma foto com os ângulos e a medida de seus lados? Mantêm proporcionalidade com as medidas dos lados correspondentes. Não mudam. 6 cm 4,5 cm B 3 cm 4 cm A IKO / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES , pois 4 . 4,5 = Simplificando obtemos . = Constante de proporcionalidade entre A e B. Em casos como esse, dizemos que a foto original e a ampliada ou reduzida são semelhantes.

46 Ampliação e redução de figuras
Ampliação ou redução de fotos, reprodução de imagens na tela do cinema, representação gráfica de continentes, países ou cidades em mapas, aeromodelos, maquetes e miniaturas são exemplos de figuras semelhantes em nosso cotidiano. JAN VAN EYCK / GALERIA INTERNACIONAL, LONDRES, INGLATERRA MAJECZKA / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES MPANCH / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES

47 Processo para ampliar e reduzir figuras
Um processo bem simples de ampliar ou reduzir o tamanho de figuras é quadriculá-las. Veja dois exemplos:

48 Figuras semelhantes e figuras congruentes
Quando reproduzimos, ampliamos ou reduzimos uma figura, dizemos que as figuras obtidas são semelhantes à figura anterior. a) c) b) d) ampliação de a reprodução de a redução de a Note que, quando reproduzimos uma figura, a figura obtida além de ser proporcional (e portanto, semelhante) à original tem o mesmo tamanho, e por isso, são figuras congruentes.

49 Semelhança de polígonos
Observe os dois triângulos, o que você pode dizer sobre seus ângulos? Os pares e ′, e ′ e e ′ são congruentes entre si! Agora observe os lados: A B C A′ B′ C′ e e e Qual relação você pode encontrar entre as medidas de cada par de lados?

50 Calculando a razão entre os lados do triângulo A′B′C′ e do triângulo ABC encontramos:
= = 2 Os ângulos correspondentes têm a mesma medida, e os segmentos correspondentes têm medidas proporcionais. Podemos dizer então que o triângulo ABC e o triângulo A′B′C′ são semelhantes e indicamos assim: ABC A′B′C′ ~

51 Razão entre perímetro de polígonos semelhantes
5 2 2,5 1 Observe os retângulos. O que você pode dizer a respeito deles? Eles têm os ângulos congruentes (retos) Razão entre os comprimentos: = 2 Eles são semelhantes. Razão entre as larguras: = 2 Vamos calcular a razão entre os perímetros. = 2 Mesma razão entre os lados.

52 Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre seus perímetros é igual a razão entre quaisquer dois lados correspondentes, assim como é igual à razão entre dois outros elementos lineares correspondentes, como diagonais, por exemplo. Razão entre áreas de regiões poligonais semelhantes Vamos calcular a razão entre as áreas dos retângulos. = = 4 = 22 O quadrado da razão entre os lados. Se duas regiões poligonais são semelhantes, a razão entre as suas áreas é igual ao quadrado da razão entre seus elementos correspondentes lineares (lados, perímetro, diagonais, etc.).

53 Semelhança de triângulos
Link para ambiente online Triângulos são polígonos, então o que estudamos sobre polígonos também vale para triângulos. Dois triângulos são semelhantes se e somente se os lados correspondentes tiverem medidas proporcionais e os ângulos correspondentes forem congruentes. A′ B′ C′ = , e A B C =

54 Propriedade fundamental da semelhança de triângulos
Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado outro triângulo, este será semelhante ao primeiro. Aplicação da propriedade fundamental A Tomemos dois triângulos quaisquer. M Sobreponhamos um triângulo ao outro. B C N P Assim, teremos um ângulo em comum e dois lados paralelos. A Usamos então a propriedade fundamental e concluímos que os triângulos são semelhantes. M B = N C P

55 Casos de semelhança de triângulos
Observe esses dois pares de polígonos: 2 3 1 1,5 2 1 3 0,5 Esses retângulos têm ângulos de medidas iguais, mas não semelhantes, pois as medidas dos seus lados não são proporcionais. Esses quadriláteros têm lados com as medidas proporcionais, mas não semelhantes, pois seus ângulos não são congruentes. Ou seja, só a congruência dos ângulos ou só a proporcionalidade dos lados não garante a semelhança de polígonos. Mas isso vale para triângulos?

56 Caso AA A B C N M P Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes respectivamente congruentes, eles são semelhantes. Caso LAL A B C R P S 53˚ 5 4 10 8 Se dois triângulos têm dois lados correspondentes com medidas proporcionais, e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes. Caso LLL A B C N M P 2,5 3,2 4 5 6,4 8 Se dois triângulos têm os três lados correspondentes com medidas proporcionais, eles são semelhantes.

57 Uso da semelhança para medir distâncias inacessíveis
Durante uma gincana na escola, uma das tarefas é medir o tamanho de uma árvore. Como você faria isso? Que instrumentos utilizaria? SÉRGIO DOTTA JR. / ARQUIVO DA EDITORA É viável fazer isso utilizando uma régua ou fita métrica? Quais conceitos você aprendeu que podem ser úteis na resolução desse problema? Uma solução seria medir indiretamente, utilizando conceitos de semelhança de triângulos e proporção.

58 Meça a distância entre você e a perpendicular que passa pela cesta.
Com metade de uma folha quadrada, e seguindo os procedimentos abaixo é possível calcular a altura de uma árvore, um poste ou uma cesta de basquete. Mire o topo do objeto (como a cesta na figura ao lado) a ser medido, conservando a parte inferior da folha paralela ao chão. Afaste-se ou aproxime-se da cesta se for necessário. Meça a distância entre você e a perpendicular que passa pela cesta. PAULO MANZI / ARQUIVO DA EDITORA AB = 140 cm DC = 140 cm AB = DC Meça a distância do chão aos seus olhos. AD = 160 cm BC = 160 cm AD = BC

59 A altura da cesta é dada por BC + CE ou AD + AB.
Como os triângulos DCE e DGF possuem dois ângulos correspondentes, então eles são semelhantes. Assim: = DC = EC DF = DG PAULO MANZI / ARQUIVO DA EDITORA A altura da cesta é dada por BC + CE ou AD + AB. BC + CE = 160 cm cm = 300 cm = 3 m

60 Transformações geométricas
Translação A B C A′ B′ C′ Podemos deslocar ou transladar ou ainda transportar uma figura no plano, de modo que a figura obtida seja congruente à original, por meio de um movimento chamado translação. Representação de uma translação A B A′ B′ A translação que leva de A até A′ é representada por um segmento orientado (ou vetor) , com origem em A e término em A′.

61 A figura PQRS foi transladada dando origem à figura P′ Q′ R′ S′.
Figuras transladadas A figura PQRS foi transladada dando origem à figura P′ Q′ R′ S′. A figura P′Q′R′S′ é chamada imagem da figura PQRS. Cada ponto de PQRS está ligado a P′ Q′ R′ S′ por meio de um segmento orientado. Observe outro exemplo: A B D C A′ B′ D′ C′

62 Translações sucessivas
É possível fazer translações sucessivas, como no exemplo abaixo, em que a figura amarela é transladada à figura azul e depois a figura azul é transladada para a figura rosa. A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ A″ B″ C″ D″ E″

63 Reflexão em relação a uma reta
A figura PQRS foi levada à figura P′Q′R′S′ por uma reflexão em relação à reta indicada por s. eixo de reflexão imagem P Q R S Q′ R′ S′ P′ s é mediatriz dos segmentos , O sentido do deslocamento de P′Q′R′S′ é oposto ao de PQRS. P Q R S P′ Q′ R′ S′

64 Um caso particular de reflexão
B D′ A′ C′ B′ s Um caso particular de reflexão O quadrado ABCD foi refletido levando à figura A′B′C′D′ por uma reflexão em relação à reta indicada por s. Parte do quadrado ABCD está em um lado da reta s; e a outra parte está no outro lado. Eixo de simetria Ao se refletir cada uma das figuras ao lado em relação ao eixo s, a figura obtida corresponde à original. s s Nesse caso, chamamos, o eixo de reflexão de eixo de simetria da figura.

65 O ponto A é chamado de centro de rotação.
Pode-se girar uma figura em torno de um ponto segundo um determinado ângulo e obter outra figura congruente a ela. No exemplo abaixo, o triângulo ABC sofreu uma rotação em torno do ponto A de um ângulo no sentido horário. C A A′ B C′ B′ O sentido de deslocamento de ABC é o mesmo sentido de deslocamento de A′B′C′. O ponto A é chamado de centro de rotação.

66 Construção de uma rotação
Vamos agora construir passo a passo uma rotação de 90º de um triângulo em torno de determinado ponto. Desenhe o triângulo ABC e o ponto P que será o centro de rotação. B′ Trace uma linha do ponto A ao ponto P. Com um transferidor trace uma reta que forma 90º no sentido horário com 90º A′ Marcamos o ponto A′ de forma que a distância de A′ a P seja igual a distância de A a P, ou seja, PA = PA′. 90º C′ 90º Repita o procedimento para os pontos B e C. A P Ligue os pontos A′, B′ e C′. B C

67 Outro tipo de transformação: a homotetia
Há um tipo de transformação geométrica que, em geral, não preserva a congruência e está muito relacionada com o que vimos até agora. Considere um ponto O, uma semirreta , com o ponto P distinto de O e uma constante, por exemplo, igual a 3. A correspondência estabelecida entre o ponto P e o ponto P′, ambos sobre a semirreta é tal que: OP′ = 3 . OP ou = 3. Se a razão fosse , o ponto P′ seria colocado entre O e P, no ponto médio de O P′ P Assim, OP′ = OP ou =

68 Propriedades importantes de uma homotetia
Chamaremos de homotetia com centro em O e razão k positiva toda transformação que leva o ponto P (distinto de O) a um único ponto P′ da semirreta , de modo que OP′ = k . OP. Ao ponto P′ damos o nome de imagem (ou homotético) do ponto P segundo essa homotetia. O P′ P Propriedades importantes de uma homotetia 1) Em duas figuras homotéticas, os ângulos correspondentes são congruentes, os segmentos correspondentes são paralelos e a razão entre suas medidas é sempre a mesma e igual à razão da homotetia. 2) Se duas figuras são semelhantes, é sempre possível que uma chegue à outra fazendo um ou mais movimentos rígidos (rotação, translação ou reflexão), seguidos de uma homotetia.

69 Transformações geométricas, correspondência biunívoca, congruência e semelhança
Observações: Em todas as transformações que vimos, há uma correspondência biunívoca entre os pontos da figura inicial e os da figura obtida. A translação, rotação e reflexão são chamadas de isometrias. A figura obtida é congruente à figura inicial. Uma homotetia ou um movimento rígido seguido de uma homotetia leva uma figura a outra semelhante a ela. s A B′ C C′ P A′ B A B C D A′ B′ C′ D′ A C B D A′ C′ B′ D′ A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ O