Campus de Caraguatatuba

Apresentação em tema: "Campus de Caraguatatuba"— Transcrição da apresentação:

1 Campus de Caraguatatuba
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 6: Matrizes (3)

2 Autovalores e Autovetores (1)
Seja a matriz A e os seguintes vetores u e v apresentados como se segue. E sejam as seguintes transformações operadas em A que resultam em:

3 Autovalores e Autovetores (2)
As transformações realizadas podem ser apresentadas graficamente, como apresentado a seguir.

4 Autovalores e Autovetores (3)
Generalizando, tomando como foco as transformações lineares do tipo Ax = λx, com λ constante, têm-se transformações nas quais o vetor x tem seu tamanho expandido ou diminuído.

5 Autovalores e Autovetores (4)
Exemplo 1: Seja a matriz A e o vetor x como apresentados a seguir. Tem-se que a matriz Ax apresenta o seguinte formato:

6 Autovalores e Autovetores (5)
Um autovetor para uma matriz A de ordem k é um vetor x, não nulo, tal que Ax = x, para algum escalar . Um escalar  é chamado de autovalor de uma matriz A se há uma solução não trivial x para a equação Ax = x. Obs.: O escalar  e a matriz x são chamados de autovalor e autovetor associado; e Normalmente, os autovetores são dados num formato padronizados e, tal que em que

7 Autovalores e Autovetores (6)
Considere a transformação Ax = λx, então tem-se que Ax − λx = (A − λI)x = 0. A matriz quadrada A − λI é uma matriz singular e pode-se resolver a equação matricial a seguir, Ax − λIx = (A − λI)x = 0 para λ, usando-se o fato que o determinante de (A − λI) deve ser 0, ou seja, |A − λI| = 0. Essa equação é conhecida como Equação ou Função Característica. Dessa forma, deve-se obter os valores de λ que são raízes da função característica. Seja A uma matriz quadrada de ordem k, então existem k autovalores λ1, λ2, λ3, ..., λk que satisfazem a equação polinomial |Ax − λI| = 0. Assim sendo, existem k autovetores e1, e2, ..., ek associados.

8 Autovalores e Autovetores (7)
Exemplo 2: Seja a matriz A apresentada a seguir. Então tem-se que E chega-se na seguinte equação polinomial

9 Autovalores e Autovetores (8)
Tem-se o cálculo das seguintes raízes Finalmente, os autovalores da matriz A são

10 Autovalores e Autovetores (9)
Para o cálculo dos autovetores associados, deve-se calcular Autovetor e1 associado ao autovalor λ1 = 3 Tem-se que x11 = 0 e x12 pode ser qualquer valor, e será considerado igual a 1. O primeiro autovetor é x′1 = (0,1). Padronizando x1, tem-se

11 Autovalores e Autovetores (10)
Autovetor e2 associado ao autovalor λ2 = 1 Tem-se que x21 = -2x22. Fazendo x22 = 1, então x21 fica igual a x21 = -2 e o segundo autovetor é x′2 = (-2,1). Padronizando o autovetor x2 , tem-se

12 Autovalores e Autovetores (11)
Exercício 1: Calcular os autovalores e autovetores associados à matriz A apresentada a seguir.

13 Decomposição Espectral (1)
Seja uma a matriz A simétrica de ordem k, então A pode escrita por Exemplo 3: Seja a matriz A apresentada a seguir. Têm-se os autovalores λi e autovetores ei associados.

14 Decomposição Espectral (2)
Portanto,

15 Decomposição Espectral (3)
Defina-se uma matriz ortogonal U cujas colunas consistem nos autovetores e1, e2 , ..., ek , e da mesma forma, definindo-se uma matriz ortogonal V, tal que V = U′, ou seja, Defina-se ainda uma matriz Λ (lambda) formada pelos autovalores λ1, ..., λk , ou seja, Pode-se escrever que ou

16 Decomposição Espectral (4)
Para o caso de uma matriz de ordem 2, tem-se que e Assim, uma matriz A de ordem 2 pode ser representada por

17 Decomposição Espectral (5)
Exemplo 4: Para o caso da matriz A, apresentada a seguir, Têm-se as matrizes U e Λ apresentadas a seguir e

18 Matriz Definida Positiva (1)
Seja a matriz x′Ax. Como se tem apenas termos quadráticos x2i e termos cruzados xixj, essa matriz recebe o nome de Forma Quadrática. Se uma matriz simétrica A de ordem k é tal que Então se diz que a matriz A é uma Matriz Definida Positiva. Se uma matriz A de ordem k é definida positiva, então seus autovalores são todos positivos, ou seja,

19 Matriz Definida Positiva (2)
Exemplo 5: Seja a forma quadrática 6x12 + 4x1x2 + 3x22 , então Sabendo-se que Então a matriz A é definida positiva

20 Matriz Definida Positiva (3)
Algumas propriedades: Se x′Ax ≥ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida positiva; Se x′Ax < 0, ∀x não nulo, então a matriz A é definida negativa; e Se x′Ax ≤ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida negativa. Casos Especiais: Matriz Inversa - a inversa de uma matriz simétrica A de ordem k pode ser obtida fazendo-se ou

21 Matriz Definida Positiva (4)
Matriz Raiz Quadrada - a Matriz Raiz Quadrada de uma matriz A definida positiva de ordem k, é uma matriz tal que A1/2A1/2 = A, e pode ser obtida fazendo-se ou Em que a matriz Λ1/2 é dada por

22 Matriz Definida Positiva (5)
Há outra relações que envolvem a matriz raiz quadrada: A−1/2 = (A−1/2 )−1 = UΛ −1/2 U′; A−1/2 A−1/2 = A−1. Exemplo 6: Seja a matriz A apresentada a seguir. Então tem-se (de exemplo anterior) que e

23 Matriz Definida Positiva (6)
Fazendo-se Tem-se que

24 Matriz Definida Positiva (7)
A matriz A1/2 é a matriz raiz quadrada de A, sendo que Fazendo-se Tem-se que

25 Matriz Definida Positiva (8)
E assim,

26 Decomposição em Valores Singulares (1)
Seja A uma matriz de valores m x k. Há uma matriz U de ordem m x n e uma matriz V de ordem k x k, ambas ortogonais, tais que Em que a matriz Λ é uma matriz do seguinte tipo Onde r = rank de A e a matriz D é uma matriz diagonal com os r valores singulares de A. Pode-se entender a decomposição em valores singulares como uma expressão numa relação matricial que depende do rank da matriz.

27 Decomposição em Valores Singulares (2)
Dado que m > k, então existem r constantes positivas λ1, λ2 , ..., λr, r autovetores u1, u2, ..., ur de dimensão m x 1 e r autovetores v1,v2, ..., vr , de dimensão k x 1 tal que Onde as matrizes definidas abaixo são ortogonais E a matriz Λr é uma matriz diagonal do tipo

28 Decomposição em Valores Singulares (3)
Neste cenário, λ1, λ2 , ..., λr e u1, u2, ..., ur são pares de autovalores e autovetores de AA′, obtidos de Em que λ1 > λ2 > > λr > 0, são valores estritamente positivos. Os vetores vi, por sua vez, estão relacionados aos autovetores ui, i = 1, 2, ..., r, pela relação abaixo Alternativamente, vi, i = 1, 2, ..., r, são autovetores associados aos mesmos autovalores positivos λ1 > λ2 > > λr > 0 de A′A.

29 Decomposição em Valores Singulares (4)
Desta forma, a decomposição em valores singulares pode ser escrita pela expressão a seguir,

30 Decomposição em Valores Singulares (5)
Exemplo 6: Seja a matriz A apresentada a seguir. Então tem-se AA′ é

31 Decomposição em Valores Singulares (6)
Os autovalores de AA′ são Os autovetores associados são Os vetores v1 e v2 são obtidos como se segue

32 Decomposição em Valores Singulares (7)
Dessa forma, a matriz A pode ser escrita como se segue, Ou seja,

33 Bibliografia (1) Referência Básica 1
GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2004

34 Bibliografia (2) Referência Básica 2
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2ª ed., São Paulo: Bookman, 2004.

35 Bibliografia (3) Referência Básica 3
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra Linear. 4ª ed., São Paulo: Bookman, 2011.