MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2.

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1 MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2

2 Objetivos Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

3 O produto escalar define um método para multiplicar dois vetores.
Definição: O produto escalar define um método para multiplicar dois vetores. O produto escalar pode ser usado para encontrar o angulo entre dois vetores. A . B = A B cos

4 2.9 * Propriedades da Operação
Lei comutativa: A . B = B . A Multiplicação por escalar: a (A . B) = (a A) . B = A . (a B) = (A . B)a Lei distributiva: A . (B + D) = (A . B) + (A . D) A . B = A B cos

5 2.9 * Operações com Vetores Cartesianos – Vetores unitários
i . i = (1)(1)(cos0°) = 1 i . j = j . i = (1)(1)(cos90°) = 0 i . k = k . i = (1)(1)(cos90°) = 0 j . j = (1)(1)(cos0°) = 1 j . k = k . j = (1)(1)(cos90°) = 0 k . k = (1)(1)(cos0°) = 1 i . i = j . j = k . k = 1 i . j = i . k = j . k = 0 A . B = A B cos

6 2.9 * Operações com Vetores Cartesianos
A . B = (Ax i + Ay j + Az k) . (Bx i + By j + Bz k) = AxBx (i.i) + AxBy (i.j) + AxBz (i.k) + AyBx (j.i) + AyBy (j.j) + AyBz (j.k) + AzBx (k.i) + AzBy (k.j) + AzBz (k.k) A . B = AxBx + AyBy + AzBz

7 1. Ângulo formado entre dois vetores ou linhas concorrentes
2.9 * Aplicações 1. Ângulo formado entre dois vetores ou linhas concorrentes A . B = A B cos

8 2. Obtendo os componentes de um vetor // and  a uma linha
2.9 * Aplicações 2. Obtendo os componentes de um vetor // and  a uma linha A projeção de A em aa’ (na direção de u) é A|| A projeção de A na linha  a aa’ é A

9 Se A|| > 0  A tem a mesma direção de u
2.9 * Aplicações Obtendo A|| : A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) A|| = A . u Se A|| > 0  A tem a mesma direção de u Se A|| < 0  A tem direção oposta de u A|| = A|| u = (A.u)u

10 Existem dois métodos para calcular A
2.9 * Aplicações Obtendo A : A = A|| + A A = A - A|| Existem dois métodos para calcular A

11 Determine o ângulo  entre os dois vetores.
Exemplo 2.C Determine o ângulo  entre os dois vetores.

12 Exemplo 2.C - Solução

13 Exemplo 2.C - Solução

14 Problema 2.D Se F = {16i +10j – 14k} N, determine o módulo da projeção de F ao longo do eixo do poste e da perpendicular a ele.

15 Problema 2.D Diagrama

16 Problema 2.D - Solução

17 Problema 2.D - Solução

18 Problema 2.D - Solução

19 Problema 2.E As duas forças F1 e F2 atuam no gancho. Determine o módulo e a direção da menor força F3 tal que a força resultante das três forças tenha um módulo de 20 lb.

20 Problema 2.E - Solução FR=20 lb F3 10lb FR1=F1+F2 5 4 3 θ 5 lb A B A+B

21 Problema 2.E - Solução

22 Problema 2.F Determine o módulo da componente projetada do comprimento da corda OA ao longo do eixo Oa.

23 Problema 2.F Diagrama A’

24 A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) A|| = A . u
Problema 2.F - Solução Teoria: A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) A|| = A . u

25 Problema 2.F – Solução A’

26 Problema 2.F – Solução A’

27 Problema 2.F – Solução A’

28 Problema 4 dos exercícios

29 Problema 4 dos exercícios
F’

30 Se A|| > 0  A tem a mesma direção de u
2.9 * Aplicações Obtendo A|| : A|| = (A) (cos) A . u = (A) (u) (cos) = (A) (1) (cos) = (A) (cos) A|| = A . u Se A|| > 0  A tem a mesma direção de u Se A|| < 0  A tem direção oposta de u A|| = A|| u = (A.u)u

31 Problema 4 dos exercícios
Fy Fx Fz

32 Problema 4 dos exercícios - Solução
G Fy b a g Fx Fz

33 Direção de um Vetor Cartesiano:
2.5 Vetores Cartesianos Direção de um Vetor Cartesiano:

34 Problema 4 dos exercícios - Solução
F’ = (Fx cos a + Fy cos b + Fz cos g) uG F’ = (Fx cos a + Fy cos b + Fz cos g) F’ = F . uG

35 Problema 2 dos exercícios

36 Problema 2 dos exercícios - Solução
Diagrama de corpo livre T F 400 q 6kN

37 Problema 2 dos exercícios - Solução
Resultante de F e T T 6kN 400 F q

38 Problema 2 dos exercícios - Solução
Resultante de F e T T 6kN q F 400

39 Problema 2 dos exercícios - Solução
Resultante de F e T (F mínimo) T 6kN q=500 400 F