Álgebra Linear e Geometria Analítica

Apresentação em tema: "Álgebra Linear e Geometria Analítica"— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear e Geometria Analítica

2 Engenharia Civil e Engenharia Topográfica

3 Equipa docente: Engenharia Civil Diurno:
Marília Pires; Susana Fernandes; Nelson Pires Engenharia Civil Nocturno: Marília Pires; Nelson Pires Engenharia Topográfica: Marília Pires

4 Para tirar dúvidas: mpires@ualg.pt sfer@ualg.pt
Página web: w3.ualg.pt/~mpires

5 Vamos jogar à Batalha Naval

6 Precisamos de mar:

7 Agora precisamos de barcos:

8 Agora precisamos de barcos:

9 Agora arranjar maneira de localizar os tiros:

10 A B C D E F G H I J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

11 Tiros: A7 H3 J9

12  A B C D E F G H I J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

13 Matrizes 1 2 3 4 5 7 6

14 Matrizes 45 56 -9 5 0.9 7 99 10 3 6 -10 89 76 9 65 32 -1 54 12 2 4 1

15 Matrizes Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunas
45 56 -9 5 0.9 7 99 10 3 6 -10 89 76 9 65 32 -1 54 12 2 4 1 Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunas Diz-se que tem dimensão 57

16 Matrizes 45 56 -9 5 0.9 7 99 10 3 6 -10 89 76 9 65 32 -1 54 12 2 4 1 Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.

17 Matrizes Este elemento está na linha 3 e coluna 5.
45 56 -9 5 0.9 7 99 10 3 6 -10 89 76 9 65 32 -1 54 12 2 4 1 Este elemento está na linha 3 e coluna 5. Diz-se que está na posição (3,5)

18

19 A tem dimensão 34

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23

24 Uma matriz A com m linhas e n colunas diz-se que tem dimensão mn e representa-se por [aij] i =1,…,m; j=1,…,n

25 Matrizes especiais: Matrizes nulas Omn
Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulas O23=

26 Matrizes especiais: Matrizes quadradas Ann
Matriz com n linhas e n colunas A33=

27 Matrizes especiais: Matriz triangular superior Ann
aij = 0 se i > j A33=

28 Matrizes especiais: Matriz triangular inferior Ann
aij = 0 se i < j A33=

29 Matrizes especiais: Matriz diagonal Ann aij = 0 se i  j A33=

30 Matrizes especiais: Matrizes coluna An1
Matriz com n linhas e 1 coluna A51=

31 Matrizes especiais: Matrizes linha A1n Matriz com 1 linha e n colunas

32 Matrizes especiais: Matrizes identidade Inn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1. I33=

33 Matrizes especiais: Matrizes escalares Ann
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a . A33=

34 Matriz simétrica de outra:
A matriz B diz-se simétrica da matriz A se as entradas de B forem os simétricos das entradas correspondentes de A. (É claro que A e B têm a mesma dimensão) A= B = B = - A

35 Matriz transposta doutra:
A matriz B diz-se transposta da matriz A se as entradas de B foram tais que bik = aki. Escreve-se B = AT A= B = AT = b12 = a21 = 2

36 Multiplicar uma matriz por um escalar:
Todas as entradas da matriz são multiplicadas pelo mesmo valor . B= A (É claro que A e B têm a mesma dimensão) A= B =3 A =

37 Somar matrizes Só se podem somar matrizes da mesma dimensão. C = A + B
Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição de A e de B A= B = A + B =

38 Multiplicar Matrizes CASO 1
Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmo número de elementos. C = A B A= B =

39 Multiplicar Matrizes CASO 1
Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. C = A B A= B =

40 Multiplicar Matrizes CASO 1
Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. C = A B A= B = A B = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]

41 Multiplicar Matrizes CASO 2
Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna Faz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna. Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da coluna. C = A B A= B =

42 Multiplicar Matrizes CASO 2
Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna C = A B A= B =

43 Multiplicar Matrizes CASO 2
Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna C = A B A= B = C = =

44 Multiplicar Matrizes CASO GERAL
Multiplicar uma matriz Anp por uma matriz Bpm C = A B Cada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz B Então Cnm

45 32 24 34

46 32 24 34 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

47 O produto de matrizes não é comutativo.
Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA. Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.

48 Matriz Inversa: Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que
AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1

49 Propriedades das operações com matrizes
A + B = B + A (comutativa) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) A + O = A (elemento neutro) A + (-A) = O (simétricos) (A + B) = A +  B ( + ) A =  A +  A  ( A )= (  ) A

50 Propriedades das operações com matrizes
1 A = A  O = O (AT)T = A ( A + B) T = AT + BT ( A) T =  AT A (B + C) = AB + AC (distributiva) (B + C) A = BA + CA (AB)C = A(BC)

51 Propriedades das operações com matrizes
 (AB) = ( A)B = A( B) ( A B) T = BT AT ( A) T =  AT (A-1)-1 = A (AB) -1 = B-1 A-1 (AT ) -1 = (A -1) T ( A) -1 =  -1 A -1