Frases com múltiplos quantificadores

Apresentação em tema: "Frases com múltiplos quantificadores"— Transcrição da apresentação:

1 Frases com múltiplos quantificadores
TC2- Lógica Proposicional Frases com múltiplos quantificadores Várias ocorrências do mesmo quantificador à cabeça $y$z (Cube(y) Ù Tet(z) Ù LeftOf(y,z)) "x"y ((Cube(x) Ù Tet(y)) ® LeftOf(x,y)) Quantificadores como prefixos de subfrases $y (Cube(y) Ù $z (Tet(z) Ù LeftOf(y,z))) "x (Cube(x) ® "y (Tet(y) ® LeftOf(x,y))) Relação entre variáveis quantificadas Todo o cubo está ou à esquerda ou à direita de qualquer outro cubo "x"y ((Cube(x) Ù Cube(y)) ® (LeftOf(x,y) Ú RightOf(x,y))) é afirmação falsa em qualquer mundo com pelo menos 1 cubo: "y ((Cube(b) Ù Cube(y)) ® (LeftOf(b,y) Ú RightOf(b,y))) (Cube(b) Ù Cube(b)) ® (LeftOf(b,b) Ú RightOf(b,b)) "x"y ((Cube(x) Ù Cube(y) Ù x¹y) ® (LeftOf(x,y) Ú RightOf(x,y))) Cristina Ribeiro

2 TC2- Lógica Proposicional
Exemplo Premissas: 1. "x"y"z ((Blabla(x,y) Ù Blabla(y,z)) ® Blabla(x,z)) 2. "x"y (Blabla(x,y) ® Blabla(y,x)) 3. $x$y Blabla(x,y) Conclusão: "x Blabla(x,x) Prova: Instanciação existencial de 3: b e c arbitrários tais que Blabla(b,c) De 2: Blabla(c,b) Aplicando 1, com x=z=b e y=c: Blabla(b,b) Sendo b arbitrário, por generalização universal: "x Blabla(x,x) Contraexemplo: Mundo com 3 objectos a, b, c; extensão do predicado Blala: Blabla(a,b) Blabla(b,a) Blabla(a,a) Blabla(b,b) Verificam-se as premissas mas a conclusão é falsa: para c não se verifica Blabla(c,c) Mundo com número mínimo de objectos: 2 objectos a e b; extensão do predicado Blala: Onde está errada? Cristina Ribeiro

3 Quantificadores misturados
TC2- Lógica Proposicional Quantificadores misturados "x (Cube(x) ® $y (Tet(y) Ù LeftOf(x,y))) Todo o cubo está à esquerda de um tetraedro Outra forma (Prenex): "x$y (Cube(x) ® (Tet(y) Ù LeftOf(x,y))) Ordem entre quantificadores iguais: indiferente "x"y Gosta(x,y) Û "y"x Gosta(x,y) $x$y Gosta(x,y) Û $y$x Gosta(x,y) Ordem entre quantificadores diferentes: é importante "x$y Gosta(x,y) $y"x Gosta(x,y) Cristina Ribeiro

4 TC2- Lógica Proposicional
Tradução passo a passo Problema: frases em LN com várias frases nominais quantificadas Solução: traduzir parcialmente Todo o cubo está à esquerda de um tetraedro Todo o cubo verifica uma propriedade "x (Cube(x) ® x está-à-esquerda-de-um-tetraedro) x está-à-esquerda-de-um-tetraedro: usando x como um nome, dá a frase quantificada $y (Tet(y) Ù LeftOf(x,y)) Compondo as duas "x (Cube(x) ® $y (Tet(y) Ù LeftOf(x,y))) Cristina Ribeiro

5 TC2- Lógica Proposicional
Parafrasear LN Tradução passo a passo, usando a estrutura da frase em LN pode induzir traduções que não são frases em LPO Se uma pessoa pratica um desporto radical, então tem de ser corajosa û$x(Pessoa(x) Ù $y (Desporto(y) Ù Duro(y) Ù Pratica(x,y))) ® Corajosa(x) Parafraseando: Toda a pessoa que pratica um desporto radical tem de ser corajosa "x((Pessoa(x) Ù $y (Desporto(y) Ù Duro(y) Ù Pratica(x,y))) ® Corajosa(x)) Ao traduzir de LN para LPO: objectivo é obter frase com o significado da original pode ser necessário alterar a forma superficial da frase Cristina Ribeiro

6 Ambiguidade e sensibilidade ao contexto
TC2- Lógica Proposicional Ambiguidade e sensibilidade ao contexto Problemas com a tradução LN -LPO poucos conceitos primitivos na LPO algumas afirmações resultam pouco naturais para resolver fazem-se cicumlóquios LN é ambígua e LPO não necessário escolher entre diversas interpretações e usar o contexto De hora a hora uma pessoa é assaltada na cidade do Porto; vamos agora entrevistá-la... Tradução da 1ª frase "x(Hora(x) ® $y (Pessoa(y) Ù AssaltadoDurante(y,x))) Tradução revista atendendo à 2ª frase $y(Pessoa(y) Ù "x (Hora(x) ® AssaltadoDurante(y,x))) Tradução mais natural não é determinada pela forma da frase: De hora a hora alguém da secretaria tem tentado ligar-te; Cristina Ribeiro

7 Tradução com símbolos de função
TC2- Lógica Proposicional Tradução com símbolos de função Funções: expressam relação entre objectos Tudo o que se exprime com símbolos funcionais pode ser expresso com símbolos de relação mãe Símbolo de função unária mãe(Rui) = Fernanda MãeDe Predicado binário MãeDe(Fernanda, Rui) Com função: "x MaisVelha(mãe(x),x) Com predicado: "x$y(MãeDe(y, x) Ù MaisVelha(y,x)) só diz que cada pessoa tem pelo menos 1 mãe que é mais velha que o próprio "x"y(MãeDe(y, x) ® MaisVelha(y,x)) só diz que todas as mães de todas as pessoas são mais velhas que elas Cristina Ribeiro

8 Captar dependência funcional
TC2- Lógica Proposicional Captar dependência funcional Captar que a relação MãeDe é funcional: cada pessoa tem pelo menos 1mãe, e no máximo 1 mãe "x$yMãeDe(y, x) pelo menos 1 mãe "x"y"z((MãeDe(y, x) Ù MãeDe(z, x)) ® y=z) no máximo 1 mãe Frase que capta as duas afirmações "x$y(MãeDe(y, x) Ù "z(MãeDe(z, x) ® y=z)) Para exprimir "x MaisVelha(mãe(x),x) "x$y(MãeDe(y, x) Ù MaisVelha(y,x) Ù "z(MãeDe(z, x)) ® y=z)) Tudo o que se pode exprimir com um símbolo de função n-ário pode ser expresso com um predicado de aridade n+1 mais o predicado identidade, a expensas da complexidade da frase resultante Cristina Ribeiro

9 TC2- Lógica Proposicional
Métodos de prova Nos métodos de prova para quantificadores rever interacções entre métodos que introduzem novos nomes 1. "x(Rapaz(x) ® $y(Menina(y) Ù Gosta(x, y))) 2. $y(Menina(y) Ù "x(Rapaz(x) ® Gosta(x, y))) 1. é consequência lógica de 2. assumir 2; nome c para menina Prova condicional geral para 1: Assumir d: rapaz qualquer todos os rapazes gostam de c, d gosta de c generalização existencial, d gosta de alguém d é arbitrário, 1 é verdadeiro 2. é consequência lógica de 1. ??? assumir 1; prova condicional geral: Assumir e: rapaz qualquer por 1., e gosta de alguma menina; seja f uma menina de quem e gosta e escolhido arbitrariamente, todos os rapazes gostam de f generalização existencial, existe alguém de quem todos gostam Cristina Ribeiro

10 Restrição aos métodos de prova
TC2- Lógica Proposicional Restrição aos métodos de prova Prova condicional geral de "x[P(x) ® Q(x)] Usa-se P(c) e prova-se Q(c) Problema surge quando Q(c) menciona algum objecto cuja escolha depende do objecto c Como garantir correcção? Exigir que Q(c) não mencione nenhum nome que tenha sido introduzido por instanciação existencial após a suposição de P(c) Geralização universal: "xP(x) a partir de P(a) Exigir que P(a) não mencione nenhum nome que tenha sido introduzido por instanciação existencial após P (c) Assumir "x$y R(x, y) e “provar” $y"x R(x, y) nome c para objecto arbitrário $y R(c, y) d tal que R(c, d) $y"x R(x, y) por generalização existencial como c é arbitrário: "x R(x, d) Cristina Ribeiro

11 Revisão dos métodos de prova com quantificadores
TC2- Lógica Proposicional Revisão dos métodos de prova com quantificadores S(x), P(x) e Q(x) são wff’s 1. Instanciação Existencial Tendo provado $x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c e assumir S(c) 2. Prova condicional geral Para provar "x (P(x) ® Q(x)), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, assumir P(c) e provar Q(c) Garantir que Q não contém qualquer nome introduzido por instanciação existencial após a suposição de P(c) 3. Generalização universal Para provar "x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, e provar S(c) Garantir que S não contém qualquer nome introduzido por instanciação existencial após a suposição de S(c) Cristina Ribeiro

12 TC2- Lógica Proposicional
Exemplo Provar: Há um número infinito de primos "x$y (y ³ x Ù Prime(y)) Assumir: n arbitrário Provar: Existe um primo maior ou igual a n k: produto de todos os primos menores que n Todos os primos menores que n dividem k com resto 0 m = k+1 Todos os primos menores que n dividem m com resto 1 m, como todos os inteiros, pode ser factorizado em primos p: factor primo de m p tem de ser maior ou igual a n Generalização existencial: existe um primo que é maior ou igual a n Como n é arbitrário: para todo o n existe um primo maior ou igual a n Cristina Ribeiro

13 TC2- Lógica Proposicional
Prova Formal: exemplo Provas no sistema F: garantem as restrições no uso dos quantificadores 1. "x$y R(x,y) 2. $y R(c,y) " Elim: 1 3. R(c,d) 4. R(c,d) Reit: 3 5. R(c,d) $ Elim: 2, 6. "x R(x,d) " Intro: 7. $y"x R(x,y) $ Intro: 6 d c Erro: No passo 5, d é usado fora da subprova onde foi introduzido Cristina Ribeiro

14 TC2- Lógica Proposicional
Exemplo Constantes novas usadas só dentro das provas onde estão definidas 1. $y"x R(x,y) 2. "x R(x,d) 3. R(c,d) " Elim: 2 4. $y R(c,y) $ Intro: 3 5. "x$y R(x,y) " Intro: 6. "x$y R(x,y) $ Elim: 1, d d c c c d Cristina Ribeiro