Lógica de Primeira Ordem-1 F’: extensões a F n Equivalente a prova com introdução de universal: P(c)   Q(c) P(c)  Q(c)  x (P(x)  Q(x))  c Prova.

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1 Lógica de Primeira Ordem-1 F’: extensões a F n Equivalente a prova com introdução de universal: P(c)   Q(c) P(c)  Q(c)  x (P(x)  Q(x))  c Prova condicional geral Interesse: tornar provas formais mais semelhantes às informais P(c)   Q(c)  x (P(x)  Q(x)) c

2 Lógica de Primeira Ordem-2 Regras para cadeias de quantificadores Ordem exacta das constantes no topo da subprova é irrelevante: esquema pode ser aplicado com reordenação dos c i  P(c 1, …, c n )  x 1 …  x n P( x 1, …, x n )  c 1, …, c n Introdução do universal Alternativa é uma subprova separada e encaixada para cada um dos quantificadores Os c i são distintos e não ocorrem fora da subprova onde são definidos

3 Lógica de Primeira Ordem-3 Eliminação do universal  x 1 …  x n P( x 1, …, x n )  P(c 1, …, c n )  Os c i não precisam de ser distintos: a mesma constante pode substituir mais que uma variável  w  x  y  z R( w,x,y,z )   2. R(c,a,b,c)  Elim: 1 3.  z  y  x R( z,x,y,z )  Intro: -2 a,b,c

4 Lógica de Primeira Ordem-4 Regras para o existencial Introdução do existencial P(c 1, …, c n )   x 1 …  x n P( x 1, …, x n )  Eliminação do existencial  x 1 …  x n P( x 1, …, x n ) P(c 1, …, c n )  Q  Os c i são distintos e não ocorrem fora da subprova onde são definidos Os c i não precisam de ser distintos: a mesma constante pode substituir mais que uma variável c 1, …, c n

5 Lógica de Primeira Ordem-5 Prova condicional com quantificadores múltiplos  Prova condicional geral P(c 1, …, c n )   Q(c 1, …, c n )  x (P(x 1, …, x n )  Q(x 1, …, x n )) c 1, …, c n Os c i são distintos e não ocorrem fora da subprova onde são definidos

6 Lógica de Primeira Ordem-6 Forma Prenex Todo o cubo à esquerda de um tetraedro está atrás de um dodecaedro  x[(Cube(x)   y(Tet(y)  LeftOf(x,y)))   y(Dodec(y)  BackOf(x,y))] n Tradução mais natural tem quantificações dentro de subexpressões Forma normal Prenex Q 1 v 1 Q 2 v 2... Q n v n P Q i :  ou  v i : variável P : wff sem quantificadores Uso da forma normal: Medida da complexidade da fórmula: número de alternâncias nos quantificadores Demonstração automática de teoremas

7 Lógica de Primeira Ordem-7 Conversão na forma Prenex  x[(Cube(x)   y(Tet(y)  LeftOf(x,y)))   y(Dodec(y)  BackOf(x,y))]  x  y  z[(Cube(x)  Tet(y)  LeftOf(x,y))  (Dodec(z)  BackOf(x,z))] n Não basta puxar os quantificadores para o prefixo –  y(Tet(y)… quantificador passa a universal porque está logicamente dentro de um  – 2 quantificadores para a variável y : necessário renomear  xP  xQ  x[P  Q]  xP  xQ  x [P  Q]  xP  Q  x[P  Q]se x não é livre em Q  xP  Q  x [P  Q] se x não é livre em Q Q  xQ se x não é livre em Q Q  xQ se x não é livre em Q

8 Lógica de Primeira Ordem-8 Exemplo  x[(C(x)   y(T(y)  L(x,y)))   y(D(y)  B(x,y))]   x[  (C(x)   y(T(y)  L(x,y)))   y(D(y)  B(x,y))]   x[  y(C(x)  T(y)  L(x,y))   y(D(y)  B(x,y))]   x[  y  (C(x)  T(y)  L(x,y))   y(D(y)  B(x,y))]   x[  y  (C(x)  T(y)  L(x,y))   z(D(z)  B(x,z))]   x  y[  (C(x)  T(y)  L(x,y))   z(D(z)  B(x,z))]   x  y[  z  (C(x)  T(y)  L(x,y))   z(D(z)  B(x,z))]   x  y  z[  (C(x)  T(y)  L(x,y))  (D(z)  B(x,z))]   x  y  z[  (C(x)  T(y)  L(x,y))  (D(z)  B(x,z))] Substituições inválidas!  xP  xQ  x[P  Q]  xP  xQ  x [P  Q]