1 Aula 9 - definições Maio-2003 SISTEMAS LINEARES Mestrado em Engenharia Elétrica.

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1 1 Aula 9 - definições Maio-2003 SISTEMAS LINEARES Mestrado em Engenharia Elétrica.

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8 8 1) A equação Y(s)=H(s)U(s), no domínio de Laplace, descreve a relação entre a entrada U(s) e a saída Y(s) de um sinal, é chamada de descrição externa. 2) H(s), denominado de Função de Transferência, é fatorado com a razão de duas matrizes polinomiais H(s)=P(s)/Q(s)

9 9 As equações abaixo: x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t o )=x o cond. inicial y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t), são chamadas de equações de estado ou equações dinâmicas e descrevem um sistema internamente. São equações diferenciais lineares de primeira ordem de dimensão-n.

10 10 1) A(.),B(.),C(.),D(.), são funções do tempo com dimensões n x n; n x q; p x n, and p x q, respectivamente. 2) O vetor sinal u(. ) de dimensões qx1 é uma função contínua do tempo, chamada de sinal entrada (ou controle). 3) De maneira similar, o sinal y(. ) de dimensões px1 é conhecido como sinal de saída. 4) O vetor de dimensão n é chamado de estado do sistema.

11 11 5) O caso invariante no tempo, refere-se às matrizes A, B, C, D, constantes. 6) Quando p = q = 1, o modelo é chamado SISO (Single-Input Single-Output). Neste caso B é um vetor coluna e C é um vetor linha. 7) Quando p e q forem maiores do que um (>1), o modelo é chamado de MIMO (Multiple-Input Multiple-Output). Neste caso, B and C são matrizes.  Em ambos casos (SISO & MIMO), o vetor estado pode ainda ser (e geralmente é) de dimensão n.

12 12 IMPORTANTE: Estas duas equações serão desenvolvidas usando conceitos de linearidade, invariância no tempo, causalidade e relaxamento. Para que possamos realizar uma análise qualitativa, precisamos investigar as propriedades desta duas equações:. x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

13 13 Exemplo: Um foguete é propelido por uma força vertical que é proporcional a razão de ejeção da massa u 0, i.e., F= .u o, logo a massa m(t) =u o. A posição vertical do foguete em relação à superfície da terra é dada por h(t), sua massa por m(t), e sua velocidade por v(t). As equações de movimento são: m(t).v(t) = .u o - m(t)g; h(t)=v(t) ; m(t) =u o O que nos leva a uma equação diferencial de segunda ordem em h(t):

14 14 Definindo x 1 =h, x 2 =h e y=h nós obtemos o modelo estado-es- paço de dimensão n=2:

15 15 NETWORK V 1 (t) + V2V2 + SISTEMA X Y  Resposta à entrada ZERO: É a saída Y quando a entrada X=ZERO. A saída (zero-input response) Y pode ser diferente de ZERO pois poderão existir cargas ou fluxos iniciais. Estado do sistema: É o conjunto de condições iniciais do sistema. Resposta Estado Zero: É a saída Y devida a uma entrada arbitrária X quando (Zero-state response) todos as condições iniciais  zero (zero state).

16 16 Variáveis de Estado: São um conjunto de variáveis que descrevem o comportamento interno de um sistema. Representam elementos físicos, logo podem ser medidos. Representação por Variáveis de Estado: É o modelo que é definido em termos das variáveis de estado. O Modelo de Estado: É apresentado em termos de equa- ções matriciais.

17 17 Álgebra Linear: É usada para realizar transformações de similaridade para resolver equações algébricas lineares e computar funções de uma matriz. Solução das Equações de Estado: Diferentes análises, levam a diferentes maneiras de descrever o mesmo sistema.

18 18 Estabilidade: É uma propriedade qualitativa de um sistema linear. É o primeiro requerimento a ser obtido quando se projeta um sistema. Temos Estabilidade BIBO (bounded input, bouded output) Se um sistema não for internamente estável não será BIBO! Estabilidade no sentido de Lyapunov Estabilidade Assintótica

19 19 Estabilidade à resposta impulsiva: Se lim |h(t))|   o sistema é bounded. t  A i B k H(s) = +, onde A i são pólos simples s+p i ( s + p k ) 2 e B k são pólos múltiplos. h(t) terá então pólos desta forma, para r<1: A i e -p i t u(t) e B k [(t r-1 )/(r-1)!] e -p k t u(t)

20 20 Figura 1

21 21 Pólos no eixo jw são permitidos desde que não sejam únicos 1) Para a estabilidade à resposta impulsiva, todos os valores característicos (pólos= ) devem estar localizados no plano esquerdo. 2) Um circuito que possua só R,L,C (elementos passivos)é estável. 3) Fontes dependentes (Op.AMP.) são fontes de instabilidade.  jw

22 22 Procedimentos para determinar a estabilidade: P(s) H(s)= onde Q(s)=b o s n +b 1 s n-1 +....b n para n>2 determine a Q(s) a estabilidade do sistema. 1) Podemos resolver explicitamente a equação para encontrar as raízes ou então usar o Polinômio de Hurwitz: Q(s) =  (s+a) r [s+(b+jc)] m [s+(b-jc)] m (s 2 +d 2 )s Hurwitz restrito pólos no eixo jw

23 23 Procedimentos para determinar a estabilidade: Q(s) =  (s+a) r [s+(b+jc)] m [s+(b-jc)] m (s 2 +d 2 )s 1) Todos os b’s são > do que ZERO. 2) Abaixo de s n não existem expoentes faltando (não existe sinal negativo para cancelar outro termo). 3) Quando em Q(s) nós apenas temos termos do tipo (s 2 +d 2 ), (perdemos os termos de ordem ímpar). 4) Quando em Q(s) temos apenas termos do tipo (s 2 +d 2 )s, perde- mos os termos de ordem par. Exemplo:1) Q(s)= 2s 4 +10s 3 -12s 3 +21s+76  -12 sistema instável! 2) Q(s)= 63s 6 + 24s 4 10s 2 + 64  Sem os termos ímpares sistema pode ser estável - condição necessária mas não suficiente!

24 24 Estabilidade BIBO H(s) e(t) r(t) R(s)=H(s).E(s) P r (s) P H (s).P e (s) = Q r (s) Q H (s).Q e (s) lim t   |e(t)|  lim t   |r(t)|  BI(bounded input) BO(bounded output ) A B C D r(t) = TL -1 ( + +...) ( + +...) s+p1 H s+p2 H s+p1 E s+p2 E bounded se todos os pólos bounded por suposição estão no LHP e sem pólos no eixo jw

25 25 Exemplo: Sendo dado H(s)= e uma entrada e(t)=10 sen(2t)u(t). w R(s) = +  R(s)=  r(t)= tsen2t u(t) t não bounded Aqui, precisamos Hurwitz restrito porque podemos excitar uma freqüên- cia natural do circuito que resultará em ressonância.

26 26 Controlabilidade e Observabilidade: Essencial no estudo da estabilidade e da teoria do controle ótimo. Predição ou filtragem de sinais. Se um estado é controlável, os eigenvalues da equação podem ser arbitrariamente definidos pela introdução de realimentação de estado através de uma matriz de ganho constante. Se as equações de estado são observáveis, seus estados podem ser gerados, criando-se um estimador de estado com eigenvalue arbitrado.

27 27 Controlabilidade e Observabilidade: De forma simplificada podemos dizer que controlabilidade estuda as possibilidade de dirigir um estado desde a entrada. Observabilidade estuda a possibilidade de estimar um esta- desde a sua saída. Se uma equação dinâmica é controlável, todos os modos da equação podem ser excitados desde a entrada. Se uma equação dinâmica é observável, todos os modos da equação podem ser observados da saída.