©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/27Matemática Discreta I Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba.

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1 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/27Matemática Discreta I Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba 1 0 Semestre de 2013 Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret Aula 4: Matrizes (1)

2 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 2/27Matemática Discreta I Introdução (1) n Matriz pode ser definida como um conjunto de elementos dispostos de forma tabular, os quais podem representar por exemplo, números reais, números complexos e expressões, dentre outros. H Normalmente uma matriz é delimitada por colchetes ou chaves; e H O tamanho da matriz é definido por seu número de linhas e de colunas. H Notação: 4 Implícita - Letras Maiúsculas –A ou A (em negrito ou não) –A ou A (em itálico ou não) – ou (uma matriz com m linhas e n colunas) –

3 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 3/27Matemática Discreta I Introdução (2) H Notação 4 Explícita n O elemento, denominado de ij-ésima entrada ou elemento, aparece na linha i e na coluna j. n Uma matriz com m linhas e n colunas é uma matriz m x n, onde m e n determinam o tamanho da matriz.

4 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 4/27Matemática Discreta I Introdução (3) n Duas matrizes A e B são iguais se tiverem o mesmo tamanho e se os elementos correspondentes forem iguais. H Ou seja, n Há uma série de matrizes especiais, que serão apresentadas a seguir.

5 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 5/27Matemática Discreta I Matriz Linha e Matriz Coluna n Matriz Linha H Uma matriz A de tamanho 1 x n, ou seja, com uma linha e n colunas. n Matriz Coluna H Uma matriz B de tamanho m x 1, ou seja, com m linhas e uma coluna. n Obs.: Um vetor pode ser representado por essas matrizes.

6 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 6/27Matemática Discreta I Matriz Quadrada (1) n Matriz Quadrada H Uma matriz A é denominada de matriz quadrada se for de tamanho n x n (ou m x m), ou seja, ela tem o mesmo número de linhas e colunas. n Exemplo 1: Matriz Quadrada A.

7 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 7/27Matemática Discreta I Matriz Quadrada (2) n Numa matriz quadrada A define-se a diagonal principal e a diagonal secundária. H A diagonal principal é formada pelos elementos a ij tais que i = j. H Na diagonal secundária, tem-se i + j = n + 1.

8 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 8/27Matemática Discreta I Matriz Diagonal n Matriz Diagonal H Uma matriz quadrada B é denominada de Matriz Diagonal se apenas os elementos da diagonal são diferentes de zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, n Exemplo 2: Matriz Diagonal B.

9 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 9/27Matemática Discreta I Matriz Nula n Matriz Nula H Uma matriz A é denominada de Matriz Nula se todos os seus elementos forem iguais a zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, n Exemplo 3: Matriz Nula A.

10 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 10/27Matemática Discreta I Matriz Identidade n Matriz Identidade H Uma matriz diagonal B é denominada de Matriz Identidade (ou I n ) se todos os seus elementos da diagonal forem iguais a um, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, n Exemplo 4: Matriz Identidade B.

11 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 11/27Matemática Discreta I Matriz Triangular Superior n Matriz Triangular Superior H Uma matriz quadrada A é denominada de Matriz Triangular Superior se todos os seus elementos abaixo da diagonal principal forem zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição que se segue, n Exemplo 5: Matriz Triangular Superior A.

12 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 12/27Matemática Discreta I Matriz Triangular Inferior n Matriz Triangular Inferior H Uma matriz quadrada B é denominada de Matriz Triangular Inferior se todos os seus elementos acima da diagonal principal forem zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, n Exemplo 6: Matriz Triangular Inferior B.

13 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 13/27Matemática Discreta I Matriz Simétrica n Matriz Simétrica H Uma matriz quadrada A ou B é denominada de Matriz Simétrica se houver uma simetria dos seus elementos com relação à diagonal principal, ou seja se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, H Exemplo 7: Matrizes Simétricas A e B.

14 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 14/27Matemática Discreta I Matriz Densa n Matriz Densa H Uma matriz A é denominada de Matriz Densa se a maior parte de seus elementos for diferente de zero. n Exemplo 8: Matriz Densa A.

15 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 15/27Matemática Discreta I Matriz Esparsa n Matriz Esparsa H Uma matriz é denominada de Matriz Esparsa se a maior parte de seus elementos for igual a zero. 4 Uma matriz diagonal é um exemplo de uma matriz esparsa quadrada. n Exemplo 9: Matrizes Esparsas. 4 Matrizes esparsas de alta ordem geralmente representam a solução de muitos problemas reais.

16 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 16/27Matemática Discreta I Matriz Transposta (1) n Matriz Transposta H A operação de transposição de uma matriz para se gerar a Matriz Transposta se faz trocando suas linhas por suas colunas, de tal forma que a linha m se transforma na coluna n e a coluna n se transforma na linha j. H Notação:Exemplo 10: Matriz A e sua transposta A T. 4 A ou A T 4 n Exemplo 11: Vetor transposto.

17 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 17/27Matemática Discreta I Matriz Transposta (2) n Exercício 1: Qual é a matriz transposta A T da matriz A apresentada a seguir?

18 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 18/27Matemática Discreta I Potência de Matrizes n Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências de A são definidas como se segue,

19 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 19/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (1) n Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n. A soma destas matrizes gera uma matriz C = A + B, construída de forma a atender a equação a seguir, n Exemplo 12: Soma das matrizes A e B.

20 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 20/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (2) n Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n. A subtração dessas matrizes gera uma nova matriz D = A - B, construída de forma a atender a equação a seguir, n Exemplo 13: Subtração das matrizes A e B.

21 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 21/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (3) Seja um escalar e a matriz A com dimensão igual m x n. A multiplicação de um escalar (ou c ) pela matriz A gera uma matriz F construída usando a equação a seguir, n Exemplo 14: Multiplicação das matrizes A e B.

22 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 22/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (4) n Há uma série de propriedades nas operações algébricas das matrizes de soma e multiplicação por escalar. H A + B = B + A; H (A + B) + C = A + (B + C);  (A + B) = A + B;  ( + )A = cA + A;  ()A = (A); H (A + B)′ = A′ + B′; e  (A)′ = A′. n Obs.: H A e B matrizes; e  e escalares.

23 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 23/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (5) n Para a multiplicação de duas matrizes, seja A uma matriz de dimensão m x n e B uma matriz de dimensão p x q. n A multiplicação da matriz A pela matriz B só é possível se n = p, caso contrário se diz que as matrizes A e B são incompatíveis para a multiplicação. n Se as matrizes A e B são compatíveis, a multiplicação das matrizes gera uma nova matriz P = AB com cada elementos p ij construído da seguinte forma a seguir, n A matriz P tem a dimensão m x q.

24 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 24/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (6) n A multiplicação de duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n ocorre como apresentado a seguir, n E o ij-ésimo elemento c ij é dado por como se segue,

25 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 25/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (7) n Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. Calcular a matriz AB.

26 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 26/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (8) n Exercício 2: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. Calcular a matriz P = AB.

27 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 27/27Matemática Discreta I Operações com Matrizes (9) n Há uma série de propriedades adicionais nas operações algébricas das matrizes ( as matrizes A, B e C são de dimensões tais que os produtos abaixo sejam definidos). H (AB)′ = B′A′ ou (AB) T = B T A T ; H C(AB) = (CA)B; H A(B + C) = (AB + AC); e H A(BC) = (AB)C. H Obs.:  Em geral não vale a propriedade comutativa, ou seja, AB≠BA; e 4 Se AB = 0, isso não implica que A = 0 ou que B = 0.