A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Métodos Numéricos Computacionais

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Métodos Numéricos Computacionais"— Transcrição da apresentação:

1 Métodos Numéricos Computacionais
Integração Numérica Parte II Regra 3/8 de Simpson Quadratura Gaussiana

2 REGRA 3/8 DE SIMPSON A 2ª Regra de Simpson é obtida aproximando-se a função por um polinômio interpolador de 3º grau , que interpola nos pontos: segue que

3 REGRA 3/8 DE SIMPSON Integrando Regra 3/8 de Simpson

4 REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA
Considerando todos subintervalos Enfim, o erro cometido pela regra 3/8 de Simpson é Neste caso temos m/3 subintervalos

5 REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA
Para a determinação da fórmula composta, deve-se subdividir o intervalo de integração [a, b] em n subintervalos iguais de amplitude h. Fórmula composta: onde

6 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Sejam Note que qualquer polinômio de grau 3
é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô- mios, segue:

7 Quadratura Gaussiana Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da Quadratura de Gauss. As fórmulas de Newton-Cotes integram polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente. A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2

8 Característica: Partição não-regular
Quadratura Gaussiana Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como onde os coeficientes e os pontos para i=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível. Característica: Partição não-regular

9 Quadratura Gaussiana Note que o Método da Quadratura
Gaussiana envolve a determinação de 2n+2 coeficientes e , para i=0,..,n. Como temos 2n+2 parâmetros a ajustar, podemos esperar que este método ajuste exatamente polinômios de graus inferiores a 2n+1.

10 Quadratura Gaussiana Comecemos o desenvolvimento para dois pontos:
Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação:

11 Quadratura Gaussiana Segue onde os parâmetros devem ser
determinados de modo a integral ser exata para polinômios de graus inferiores a 3.

12 Quadratura Gaussiana como esperado, a fórmula é exata para
este polinômios:

13 Quadratura Gaussiana Considerando podemos determinar as incógnitas
através de Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos

14 Quadratura Gaussiana Obtemos o sistema

15 Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como

16 Quadratura Gaussiana Para 3 pontos, a fórmula da quadratura
gaussiana é exata para polinômios de graus inferiores e iguais a 5. Então, Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de

17 Quadratura Gaussiana Agora podemos determinar as incógnitas
através do sistema linear 6X6 abaixo: Escrevendo explicitamente o sistema,

18 Quadratura Gaussiana

19 Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como

20 Quadratura Gaussiana Exemplo 1: Calcule utilizando
quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos. Solução: Temos no intervalo [1,3]. Fazendo a mudança de variáveis

21 Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e apro-
ximados para n=2 e n=3 pontos

22 Quadratura Gaussiana Exemplo 2: Calcule utilizando
quadratura gaussiana para 2 pontos. Solução: Temos no intervalo [0,10]. Fazendo a mudança de variáveis

23 Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e aproximado
para n=2 são: O erro verdadeiro: O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos.

24 Quadratura Gaussiana Conclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton-Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...) Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão. Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável.

25 Quadratura Gaussiana Exercício 1 : Considere a integral
a) Estime I por Trapézio quando h=1/4. b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4. c) Estime I por Simpson 3/8 quando h=1/4. d) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3. Dado:

26 Quadratura Gaussiana Exercício 2: Dada a função , definida através da
tabela abaixo calcular aplicando: A 1ª Regra de Simpson. A 2ª Regra de Simpson. xi yi 1,0 0,099 1,1 0,131 1,2 0,163 1,3 0,194 1,4 0,224 1,5 0,253 1,6 0,281

27 Quadratura Gaussiana Exercício 3 - Determinar o valor da integral
utilizando a 2ª Regra de Simpson com n = 6 e a Quadratura Gaussiana com 4 pontos. Compare os valores encontrados.


Carregar ppt "Métodos Numéricos Computacionais"

Apresentações semelhantes


Anúncios Google