CONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍ

Apresentação em tema: "CONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍ"— Transcrição da apresentação:

1 CONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍ

2 Conteúdo da Aula Geometria Analítica 1 – Equação da Reta
Professor Neilton Satel Conteúdo da Aula Geometria Analítica 1 – Equação da Reta 2 – Área do triângulo 3 – Polinômios 4 – ponto Médio 5 – Distância entre dois pontos

3 Estudo da reta e Área do triângulo Geometria Analítica

4 PLANO CARTESIANO

5 1.2 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P

6 1.1 – COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA
É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.

7 EXERCÍCIO 01 Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m. Solução:  Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.  Logo, no caso teremos: 2m - 16 = 0, de onde tiramos m = 8 o ponto ficaria P = ( 0, 8)

8 EXERCÍCIO 02 Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m. Solução:  Se um ponto pertence ao eixo horizontal (eixo ox) , então a sua ordenada é nula.  Logo, no caso teremos: m = 0, o ponto ficaria P = ( -16, 0)

9 Fonte: http://www.somatematica.com.br

10 EQUAÇÃO GERAL DA RETA r:
A x + B y + C = 0 se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r se am + bn + c  0, P não é um ponto da reta r EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0 Onde o ponto P (1,2)  r Já o ponto P (2, -5)  r

11 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
y = ax + b onde, a = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção com o eixo Oy. O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

12  Coeficiente angular = 3
ÂNGULO: º  Coeficiente angular =2 ÂNGULO: º  Coeficiente angular = 1 ÂNGULO: 45º  Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0. PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima

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15 OBS: as equações são exemplos de cada situação representada nos gráficos
Y = 4 y = 2x – 3 y = – 3x + 6 x = 6

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20 X Y 1 2 5 EXEMPLO: 1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0
Encontrar os coeficientes angular e linear da reta r que passa por A(0, 1) e B(2, 5). RESOLUÇÃO: Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos: 1.x y – 0.y – 2.1 – 5x = 0 X Y 1 2 5 –4x +2y –2 = 0  2y = 4x +2 Ou y = 2x +1 COEFICIENTE ANGULAR = 2 COEFICIENTE LINEAR = 1 Veja o gráfico de y = 2x +1 a seguir.

21 No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
COEFICIENTE ANGULAR = 2 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). COEFICIENTE LINEAR = 1 O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1)  este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função... 5 1

22 01. Achar as equações geral e reduzida da reta determinada pelos pontos A(3, 1) e B(4, -2)
x.1 – y – 3y – x.(-2) = 0 X Y 3 1 4 -2 x – y – 3y – 4 + 2x = 0 = 0 3x + y – 10 = 0 COEFICIENTE ANGULAR = – 3 COEFICIENTE LINEAR = 10

23 Questão 01

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27 P9) Se um ponto tem coordenadas iguais, ele pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares (1ª bissetriz) y = x.                                                                     

28 P10) Se um ponto tem coordenadas opostas, ele pertence à bissetriz dos quadrantes pares(2ª bissetriz) y = - x.                                                                      .

29 Colinear (mesma reta)

30 Podemos escrever assim
Área do triângulo:

31 EXERCÍCIO DE REVISÃO 05 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)? Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área) 2 5 3 1 2 1 A = –0.5 – 1.3 – 2.1 A = 6/2 A = 3 u. a.

32 Exercícios Resolvidos 01
Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.                                                                       Maneira demonstrada no livro:

33 A = ½ |-53| 4 6 2 -3 1 -12 -12 -9 2 -4 -18 Exercícios Resolvidos
01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.                                                                       Forma abreviada mostrado pelo professor: 4 6 2 -3 1 -12 -12 -9 2 -4 -18 A = ½ |-53|

34 Equação Segmentária da Reta
Consideremos uma reta r que intercepta os eixos cartesianos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com p · q    0: Dizemos que esta equação é a equação segmentária da reta r. Observação – Os denominadores de x e y, na equação segmentária, são, respectivamente, a abscissa do ponto onde r intercepta o eixo x e a ordenada do ponto onde r intercepta o eixo y.

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36 05. Determine a equação segmentária da reta cuja equação geral é 5x + 6 y – 30 = 0.
5 6

37 X Y 5 6

38 06. (MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
y + 2x – 2 = 0 y – x – 2 = 0 y + 2x + 2 = 0 y –2x – 2 = 0 y – 2x + 2 = 0 ( Multiplicando toda a equação por –2 ) Fica:  2x + y = –2  2x + y +2 = 0

39 Consideremos dois pontos A e B tais que não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y.
Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.

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41 2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

42 EXERCÍCIO 03: Vamos determinar a distância entre
os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

43 EXERCÍCIO 04: Calcule o ponto médio entre os
pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4). SOLUÇÃO DA QUESTÃO

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45 EXERCÍCIO 04: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

46 Questão 05 As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são: a) ( 3 , 1 ) b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 ) d) ( 0 , –3 ) e) ( 3 , 3 )

47 Questão 05 As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são: a) ( 3 , 1 ) b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 ) d) ( 0 , –3 ) e) ( 3 , 3 )

48 Questão 06 Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3) pertencem à reta r. A equação dessa reta é a) y = 3x – 1 b) y + 2x – 5 = 0 c) y = 5 – 4x d) 2x + y + 5 = 0 e) y = 5x + 24 X Y 1 -7 -4 3 -7x y –y x = 0 – 10x – 5y – 25 = 0 Dividindo toda a equação por (-5): 2x + y + 5 = 0

49 Questão 09 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(1,3) e C(4,1)?
XA YA 1/2 XB YB XC YC -2 -1 1 3 4 observe que a área é sempre positiva e que as duas barrinhas | | significam módulo A = |1/2 [ – – ] | A = |1/2 [ – 18 ] | A = | – 9 | A = 9 u.a. (unidade de área)