Teoria dos Jogos.

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1 Teoria dos Jogos

2 A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico de agentes

3 Teoria dos Jogos A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico de agentes que entendem que suas ações afetam as ações de outros agentes

4 Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
 Oligopólios

5 Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
 Oligopólios  Cartéis

6 Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
 Oligopólios  Cartéis  Externalidades

7 Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
 Oligopólios  Cartéis  Externalidades  Estratégias militares

8 O Que é um Jogo?

9 O Que é um Jogo? Um jogo consiste de

10 O Que é um Jogo? Um jogo consiste de  um conjunto de jogadores

11 O Que é um Jogo? Um jogo consiste de  um conjunto de jogadores
 um conjunto de estratégias para cada jogador

12 O Que é um Jogo? Um jogo consiste de  um conjunto de jogadores
 um conjunto de estratégias para cada jogador  payoffs (recompensas), para cada jogador, resultantes das escolhas estratégicas possíveis

13 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

14 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
 Os jogadores são A e B

15 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
 Os jogadores são A e B  O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”

16 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
 Os jogadores são A e B  O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”  O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”

17 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
 Os jogadores são A e B  O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”  O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”  A tabela que mostra as recompensas, para cada jogador, de cada uma das quatro possíveis combinações estratégicas é a matriz de payoff

18 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Jogador A

19 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A

20 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A As recompensas do jogador A são apresentadas à esquerda das vírgulas

21 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A As recompensas do jogador A são apresentadas à esquerda das vírgulas As recompensas do jogador B são apresentadas à direita das vírgulas

22 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D),

23 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D), onde o primeiro elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador A

24 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D), onde o primeiro elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador A e o segundo elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador B

25 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita,

26 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita, então a recompensa de A é 1

27 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita, então a recompensa de A é 1 e a recompensa de B é 8

28 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita,

29 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita, então a recompensa de A é 2

30 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita, então a recompensa de A é 2 e a recompensa de B é 1

31 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Jogador A Que jogadas provavelmente vão ocorrer neste jogo?

32 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1)

33 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita,

34 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo

35 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo porque isto melhora a recompensa de A de 1 para 2

36 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo porque isto melhora a recompensa de A de 1 para 2 Então (A,D) não ocorreria

37 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (2,1) B (0,0)

38 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita,

39 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo

40 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo,

41 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo, então a melhor resposta do jogador B é Direita

42 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo, então a melhor resposta do jogador B é Direita Então (B,D) é uma jogada provável

43 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1)

44 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo

45 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo então a melhor resposta de B é Direita

46 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo então a melhor resposta de B é Direita Então (B,E) não é uma jogada provável

47 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1)

48 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto

49 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda

50 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda

51 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda então a melhor resposta de A é Alto

52 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda então a melhor resposta de A é Alto Então (A,E) é uma jogada provável

53 É uma jogada para a qual uma estratégia é a melhor resposta à outra
Equilíbrio de Nash É uma jogada para a qual uma estratégia é a melhor resposta à outra

54 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)

55 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá?

56 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá? Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois jogadores

57 Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá? Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois jogadores Deverá então ocorrer apenas (A,E)?

58 Dilema dos Prisioneiros
Jogo que exemplifica o fato de que resultados Pareto-preferíveis não necessariamente vão ocorrer

59 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Que jogadas provavelmente ocorrerão neste jogo?

60 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Se Bonnie jogar Silenciar então a melhor resposta de Clyde é Confessar

61 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Se Bonnie jogar Silenciar então a melhor resposta de Clyde é Confessar Se Bonnie jogar Confessar então a melhor

62 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Não importa o que Bonnie escolha: a melhor resposta de Clyde será sempre Confessar

63 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Não importa o que Bonnie escolha: a melhor resposta de Clyde será sempre Confessar Confessar é a estratégia dominante para Clyde

64 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Similarmente, não importa o que Clyde escolha: a melhor resposta de Bonnie será sempre Confessar

65 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Similarmente, não importa o que Clyde escolha: a melhor resposta de Bonnie será sempre Confessar Confessar é a estratégia dominante para Bonnie também

66 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C),

67 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C), muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores

68 O Dilema dos Prisioneiros
Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C), muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores O único equilíbrio de Nash é ineficiente

69 Quem Joga Quando?  Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente

70 Quem Joga Quando?  Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente  Estes são jogos simultâneos

71 Quem Joga Quando?  Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro

72 Quem Joga Quando?  Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
 Estes são os jogos sequenciais

73 Quem Joga Quando?  Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
 Estes são os jogos sequenciais  O jogador que joga primeiro é o líder

74 Quem Joga Quando?  Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
 Estes são os jogos sequenciais  O jogador que joga primeiro é o líder  O jogador que joga depois é o seguidor

75 Exemplo de Um Jogo Sequencial
 Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash

76 Exemplo de Um Jogo Sequencial
 Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer

77 Exemplo de Um Jogo Sequencial
 Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer  Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir

78 Exemplo de Um Jogo Sequencial
 Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer  Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir se um equilíbrio de Nash terá mais chances de ocorrer do que os outros

79 Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios de Nash quando este jogo é jogado simultaneamente

80 Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios de Nash quando este jogo é jogado simultaneamente E não temos nenhuma maneira de decidir qual dos equilíbrios é mais provável

81 Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente

82 Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente e A for o líder

83 Exemplo de um Jogo Sequencial
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente e A for o líder podemos expressá-lo na sua forma extensiva

84 Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

85 Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash

86 Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash (B,D) é um equilíbrio de Nash

87 Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash (B,D) é um equilíbrio de Nash Qual deles tem mais chances de ocorrer?

88 Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3

89 Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3 Se A jogar B então B joga D: A ganha 2

90 Exemplo de um Jogo Sequencial
B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3 Se A jogar B então B joga D: A ganha 2 Então (A,E) será o único equilíbrio de Nash

91 Voltemos ao jogo simultâneo com dois equilíbrios de Nash (A,E) e (B,D)
Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Voltemos ao jogo simultâneo com dois equilíbrios de Nash (A,E) e (B,D)

92 O jogador A escolhe A ou B,
Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B,

93 O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B
Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B

94 O jogador A escolhe A ou B,
Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B Ele não escolhe uma combinação de A e B

95 Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0)
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B Ele não escolhe uma combinação de A e B A e B são as estratégias puras do jogador A

96 Similarmente, E e D são as estratégias puras do jogador B
(3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Similarmente, E e D são as estratégias puras do jogador B

97 Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0)
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras

98 Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0)
Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras Todo jogo precisa ter pelo menos um equilíbrio de Nash com estratégias puras?

99 No jogo acima, existe algum equilíbrio de Nash
Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) No jogo acima, existe algum equilíbrio de Nash com estratégias puras?

100 Estratégias Puras (1,2) E D A (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash?

101 Estratégias Puras (0,4) E D A (1,2) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash?

102 Estratégias Puras (0,5) E D A (1,2) (0,4) B (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash?

103 Estratégias Puras (3,2) E D A (1,2) (0,4) B (0,5)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash? Não (B,D) é um equilíbrio de Nash?

104 Estratégias Puras E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash? Não (B,D) é um equilíbrio de Nash? Não

105 Este jogo não tem equilíbrio de Nash
Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras

106 Este jogo não tem equilíbrio de Nash Mas tem com estratégias mistas
Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras Mas tem com estratégias mistas

107 Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,

108 Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA

109 Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA

110 Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA)

111 Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA) Como A está misturando as estratégias puras Alto e Baixo,

112 Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA) Como A está misturando as estratégias puras Alto e Baixo, a distribuição de probabilidade (pA,1pA) é a sua estratégia mista

113 Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE

114 Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE

115 Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE)

116 Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE) Como ele está misturando as estratégias puras Esquerda e Direita,

117 Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar
Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE) Como ele está misturando as estratégias puras Esquerda e Direita, a distribuição de probabilidade (pE,1pE) é a sua estratégia mista

118 Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras

119 Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras mas tem com estratégias mistas

120 Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2)
Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras mas tem com estratégias mistas Como computar o equilíbrio de Nash com estratégias mistas?

121 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A,pA
Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA

122 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é 2A + 5(1A)

123 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é 2A+5(1A) Se B jogar Direita, seu payoff esperado é 4A+2(1A)

124 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A) então B jogará apenas Esquerda

125 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A) então B jogará apenas Esquerda Mas não existe equilíbrio de Nash com B jogando apenas Esquerda

126 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A) então B jogará apenas Direita

127 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A) então B jogará apenas Direita Mas não existe equilíbrio de Nash com B jogando apenas Direita

128 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita,

129 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita, o que ocorre quando 2A+5(1A) = 4A+2(1A)

130 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita, o que ocorre quando 2A+5(1A) = 4A+2(1A)  A = 3/5

131 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A,
Jogador A B, (0,5) (3,2)

132 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se A jogar Alto seu payoff esperado é 1  E + 0  (1  E) = E

133 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se A jogar Alto seu payoff esperado é 1  E + 0  (1  E) = E Se A jogar Baixo seu payoff esperado é 0  E + 3  (1  E) = 3(1  E)

134 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E > 3(1  E) então A jogará apenas Alto

135 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E > 3(1  E) então A jogará apenas Alto Mas não existe equilíbrio de Nash com A jogando apenas Alto

136 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E < 3(1  E) então A jogará apenas Baixo

137 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E < 3(1  E) então A jogará apenas Baixo Mas não existe equilíbrio de Nash com A jogando apenas Baixo

138 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja

139 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja E = 3(1  E)

140 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja E = 3(1  E)  E = 3/4

141 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é

142 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é A adotar a estratégia mista (3/5, 2/5)

143 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é A adotar a estratégia mista (3/5, 2/5) e B adotar a estratégia mista (3/4, 1/4)

144 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, (1,2) A, (0,4) 9/20 Jogador A B, (0,5) (3,2) Os payoffs serão (1,2) com probabilidade

145 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2)
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A B, (0,5) (3,2) e (0,4) com probabilidade

146 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) B, (3,2) 6/20 e (0,5) com probabilidade

147 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 e (3,2) com probabilidade

148 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 Para A, o payoff esperado do equilíbrio de Nash é

149 Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20
Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 Para B, o payoff esperado do equilíbrio de Nash é

150 Fonte Hal Varian Intermediate Microeconomics, 5th Edition Chapter 28, Game Theory
© 2006 Tradução, Adaptação e Confecção Sergio Da Silva. All rights reserved