Introdução a Funções Reais

Introdução a Funções Reais
Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Números e funções reais
Conjunto dos Números Naturais (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos Números Inteiros (Z) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0} Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} N  Z (N está contido em Z) Conjunto dos Números Racionais (Q) Q = {a/b | a,b  Z, b  0} Z  Q (Z está contido em Q) Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Conjunto dos Números Irracionais () É o conjunto formado por números cuja representação decimal é não exata e não periódica Exemplo:  = 3, Conjunto dos Números Reais (R) É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais  R Q Z N Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Reta Real Cada ponto de uma reta real representa um número real Numa reta real os números estão ordenados de maneira crescente da esquerda para a direita. Um número a é menor que qualquer número b colocado a sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda. 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 R a b c Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Conceito de função Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma lei ou regra de correspondência que relaciona a cada elemento de A um único elemento de B. Notação: f: A  B y = f(x) Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Plano Cartesiano O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais Eixo x é o eixo das abscissas Eixo y é o eixo das ordenadas A origem do sistema é o ponto O As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1 Par ordenado (x1 , y1) x y x1 y1 P(x1, y1) O Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Domínio É o conjunto de valores assumidos por x. Imagem É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do domínio. Gráfico É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano. Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Retas Coeficiente angular da reta R: Obs.: Retas horizontais: m = 0
Retas verticais: Não têm m X R Y Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Retas Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular
A equação abaixo é a equação na forma ponto – coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m. Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Retas Exemplo 1 Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -3/2. x1 = 2 y1 = 3 m = -3/2 Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Retas Exemplo 2 Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4). x1 = -2 y1 = -1 x2 = 3 y2 = 4 m = ? Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Retas R Y b X Equação reduzida da reta: m - coeficiente angular
b - coeficiente linear Equação geral da reta: A e B diferentes de zero. R X Y b Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Aplicações Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius. m b Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Funções e Gráficos Os valores de uma variável frequentemente dependem dos valores de outra variável A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta) O rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de outro conjunto B é chamada de função. B A OBS: A é o domínio B é a imagem (contradomínio) Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Funções e Gráficos Nomenclatura (Leonhard Euler) y é igual a f de x
Variável independente (domínio) Variável dependente (contra-domínio ou imagem) X (domínio) Y (imagem) Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Funções Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável real e denotamos por: x é chamada de variável independente. y é chamada de variável dependente. A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f). B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f). Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Domínio da função f é o conjunto A definido por:
Seja f: A → B uma função. Domínio da função f é o conjunto A definido por: A = 𝔻(f) = {x∊ℝ/ ∃ f(x)ℝ} A Imagem da função f, denotada por 𝕀m(f), é um subconjunto do contra domínio B, ou seja, 𝕀m(f)⊂B, definido por: 𝕀m(f) = {yB/ ∃ x∊A, com y = f(x)} A = 𝔻(f) B = C𝔻(f) f 𝕀m(f) x y=f(x) Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Funções e Gráficos Domínios e imagens
Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural. Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo. Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0. Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos. Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Funções e Gráficos As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores. Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são abertos. Aberto AB A < x < B ou (A, B) Fechado AB A ≤ x ≤ B ou [A, B] Fechado em A e aberto em B A ≤ x < B ou [A, B) Aberto em A e fechado em B A < x ≤ B ou (A, B] x A B x A B x A B x A B Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Funções e Gráficos Exemplos de domínios e imagens
A função 1 fornece um valor real de y para qualquer número real de x, então o domínio é (-, ) A função 2 fornece um valor real de y somente quando x é positivo ou zero, então o domínio é [0, ) Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Tipos de funções Função linear Ex.: y = x + 1; Função linear afim Ex.: y = 2x; Função quadrática Ex.: y = x2 – 2x – 3; Função exponencial Função logarítmica Ex.: y = log2x; Funções trigonométricas Ex.: y = senx Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Função do 1º Grau Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo : R X Y b Onde: a = Coeficiente angular taxa de variação da função; b = coeficiente linear - ponto onde a reta toca o Eixo Y; Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Propriedades da Reta É definida por um polinômio de 1o grau;
Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em apenas um ponto; O sinal do Coeficiente angular (taxa de variação) a fornece a informação sobre o crescimento ou decrescimento da função: a < 0  função decrescente; a > 0  função crescente; Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Propriedades da Reta Se a < 0, a função decresce.
- Se a < 0, a função decresce. Se a > 0, a função cresce. Só tocam o eixo X uma vez. Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Raízes da Função de 1º Grau
As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero. Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Função Afim  Função do 1º grau y = ax + b
a  coeficiente angular  a = tgθ ∀a≠0 e bℝ b  coeficiente linear a>0  reta crescente a<0  reta decrescente b θ θ b Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

a<0  reta decrescente
Função Linear y = ax + b y = ax a>0  reta crescente a<0  reta decrescente θ θ Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Função Constante y = k f(x) = k
Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções
Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Introdução a Funções Reais

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Introdução a Funções Reais"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback

Login

Autorizar-se através da rede social:

Introdução a Funções Reais

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Introdução a Funções Reais"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback