Ângulo e arco generalizados Unidade de medida de um ângulo Sistema Sexagesimal – GRAU Definição: Um GRAU (1º) é a nonagésima parte de um ângulo reto. Subunidades: O minuto é a sexagésima parte de um grau, isto é, 1º --- 60’ O segundo é a sexagésima parte de um minuto, isto é, 1’ --- 60’’ Exemplos: 55º 32’ 24’’ 24” : 60 = 0,4’ 32,4’:60= 0,54º 55,54º 25,81º 25,81º = 25º + 0,81º 0,81º x 60 = 48,6’ = 48’ + 0,6’ 0,6’ x 60 = 36’’ 25º48’36’’

Sistema Circular – RADIANO Definição: Um radiano ( 1 rad) é a amplitude de um ângulo ao centro a que corresponde um arco de comprimento igual ao raio da circunferência a que pertence. 1 rad ≈ 57, 29577951º Uma boa aplicação dos radianos … Fórmula do comprimento de arco --- s = αr (α em radianos) Fórmula da área de um setor circular --- A = 𝛼× 𝑟 2 2 (α em radianos)

Expressão geral das amplitudes de ângulos com os mesmos lados

De entre todas as amplitudes de um ângulo orientado, chama – se: . AMPLITUDE PRINCIPAL, se -180 º< α ≤ 180º . AMPLITUDE POSITIVA MÍNIMA, se 0º ≤ α < 360º

Novas definições do Seno, Cosseno e Tangente (Razões trigonométricas de um ângulo generalizado) Considera – se um círculo centrado na origem de um referencial cartesiano cujo raio tem r unidades de comprimento. Seja P o ponto de interseção da circunferência que limita o círculo com o semieixo positivo das abcissas e por A um ponto qualquer da referida circunferência. Seja α a amplitude do ângulo orientado positivo ( 𝑂 𝑃, 𝑂 𝐴), x a abcissa do ponto A e y a respetiva ordenada. Diz-se que α pertence ao 1.º, 2.º, 3.º ou 4.º quadrante consoante o lado extremidade 𝑂𝐴 se encontra no 1.º, 2.º, 3.º ou 4.º quadrantes. senα = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 𝑦 𝑟 cosα = 𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 𝑥 𝑟 tgα = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐴 = 𝑦 𝑥 , 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥≠0

Círculo Trigonométrico

O Seno, Cosseno e Tangente no Círculo Trigonométrico

Estudo do Sinal, Variação e valores das razões trigonométricas

Valores de alguns ângulos 0º 90º 180º 270º 360º seno 1 -1 cosseno tangente Não existe

Observando no círculo trigonométrico pode-se concluir que: 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝑘360° =𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝑘2𝜋 =𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛼+𝑘360° =𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝑘2𝜋 =𝑐𝑜𝑠𝛼 tg 𝛼+𝑘180° =𝑡𝑔 𝛼+𝑘𝜋 =𝑡𝑔 𝛼

Redução ao 1.º Quadrante

𝑡𝑔 𝜋 2 +𝛼 =− 1 𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔 3𝜋 2 −𝛼 = 1 𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔 3𝜋 2 +𝛼 =− 1 𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔 𝜋 2 −𝛼 = 1 𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔 𝜋 2 +𝛼 =− 1 𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔 3𝜋 2 −𝛼 = 1 𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔 3𝜋 2 +𝛼 =− 1 𝑡𝑔𝛼