FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO SENO E COSSENO Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.br

Trigonometria do triângulo retângulo Dado um triângulo retângulo e um ângulo α... hipotenusa Cateto oposto à α α Cateto adjacente à α 𝒄𝒐𝒔 𝜶= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

NORTE SUL Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

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Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani Para saber os valores dos ângulos foi criado o ciclo trigonometrico Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico 90° y 1 180° 0° x -1 1 360° Os babilônios usavam um sistema sexagenal (base 60) e por isso resolveram dividir o circulo em 360 partes, pois é um multiplo de 60. O clico trig. foi criado para facilitar o calculo dos angulos do seno, cosseno e tg, informações importantes para a aplicação da trigonometria do triangulo retangulo para o calculo de alturas inascessiveis, etc... -1 270° Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico Além do grau, os arcos podem ser medidos em radianos. Um arco de 1 rad mede exatamente o raio da circunferência que o contém. Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico 90° 𝝅 𝟐 y 1 Uma circunferência inteira mede 360° ou 2𝜋 rad, isto é, 2𝜋R 𝝅 180° 0° x -1 1 360° 𝟐𝝅 Um arco de 180° mede 3,14 raios, independente do valor do raio, já que o ângulo sempre é o mesmo. Uma circunferência inteira sempre vai medir 2 . 3,14 . raio 𝟑𝝅 𝟐 -1 270° Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

y x α A O B 1 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝑶𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜶= AB -1 1 -1 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝑶𝑨 A 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝟏 α 𝒔𝒆𝒏 𝜶= AB x O B -1 1 Um arco de 180° mede 3,14 raios, independente do valor do raio, já que o ângulo sempre é o mesmo. Uma circunferência inteira sempre vai medir 2 . 3,14 . raio -1 Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Eixo dos senos = Eixo y y x α A O B 1 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝑶𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝑶𝑨 A 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝟏 α 𝒔𝒆𝒏 𝜶= AB x O B -1 1 Um arco de 180° mede 3,14 raios, independente do valor do raio, já que o ângulo sempre é o mesmo. Uma circunferência inteira sempre vai medir 2 . 3,14 . raio -1 Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Eixo dos cossenos = Eixo x Eixo dos senos = Eixo y y 1 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝑶𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝜶= 𝑶𝑩 𝑶𝑨 A 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝑨𝑩 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜶= 𝑶𝑩 𝟏 α 𝒔𝒆𝒏 𝜶= AB 𝒄𝒐𝒔 𝜶= OB x O B -1 1 Um arco de 180° mede 3,14 raios, independente do valor do raio, já que o ângulo sempre é o mesmo. Uma circunferência inteira sempre vai medir 2 . 3,14 . raio Eixo dos cossenos = Eixo x -1 Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Seno no ciclo trigonométrico QI QII QIII QIV sen 90°= 1 sen 180°= 0 sen 270°= -1 sen 360°= 0 sen π/2 = 1 sen π = 0 sen 3π/2 = - 1 sen 2π = 0 Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Cosseno no ciclo trigonométrico QI QII QIII QIV cos 90°= 0 cos 180°= - 1 cos 270°= 0 cos 360°= 1 cos 2π = 1 cos π/2 = 0 cos π = - 1 cos 3π/2 = 0 Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Ângulos notáveis Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

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Período das funções seno e cosseno 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎°= 𝟑 𝟐 0° 90° 180° 270° 360° 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟔𝟎°+𝟑𝟎°= 𝟑 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝟐𝟎°+𝟑𝟎°= 𝟑 𝟐 30° 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅𝒌+𝒙=𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒌+𝒙=𝒔𝒆𝒏 𝒙 Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Período das funções seno e cosseno De modo geral, para a, b reais e c real não nulo, as funções seno e cosseno são dadas por: f(x) = a + b ∙ sen(c·x) g(x) = a + b ∙ cos(c·x) Tem período 𝒑= 𝟐𝝅 |𝒄| Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Período das funções seno e cosseno Encontrar o período das seguintes funções: y = 5 + 8 sen (4x + π/3) z = 10 cos (2x – π/2) p = 2π/4 = π/2 p = 2π/2 = π Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Função seno 𝒇 𝒙 =𝒔𝒆𝒏𝒙 x senx Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Função seno 𝒇 𝒙 =𝒔𝒆𝒏𝒙 x senx Df Imf = [-1, 1] Período = 𝟐𝝅 = ℝ Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Função seno Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani No 4° e 5° caso (marrom e verde) não é o valor do x(ângulo) que dobra ou reduz a metade, mas sim, o valor do seno desse x, uma vez que a curva representa a função e não o x. Assim, quando dobra a função (pra cima), estamos dobrando o valor do seno x. Quando dobra a função (pro lado), estamos reduzindo o valor do seno x à metade. Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Função cosseno 𝒇 𝒙 =𝒄𝒐𝒔 𝒙 = ℝ Df Imf = [-1, 1] Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

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f(x) = a + b ∙ sen(c·x) ou f(x) = a + b ∙ cos(c·x) Gráfico das funções f(x) = a + b ∙ sen(c·x) ou f(x) = a + b ∙ cos(c·x) a → “Corta” o eixo y no seno, deslocando o gráfico “a” unidades para cima (a>0) ou para baixo (a<0), afetando a imagem. b → “estica a curva”, sem alterar o período, mas afetando a imagem. Cuidado que no cosseno o A não é o numero onde começa a curva (não é exatamente onde corta o eixo x) c → reduz a “largura da curva” c vezes, alterando o período, mas sem afetar a imagem. Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

f(x) = sen(x) Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

f(x) = |sen(x)| Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

f(x) = – |sen(x)| Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

f(x) = 1 – |sen(x)| Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

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Parque japonês constrói a montanha-russa mais íngreme do mundo A Takabisha, nome que significa "dominadora" tem uma torre que proporciona uma queda-livre de cerca de 40m sob um ângulo de 121°. O movimento dos carros do brinquedo possui a ajuda de motores lineares, além da própria gravidade, trazendo uma velocidade de até 100 km/h. Com tanta velocidade, o passeio na montanha-russa dura pouco menos de 2min. Ainda assim, o título de montanha-russa mais rápida do mundo pertence ao Formula Rossa, em um parque em Abu Dhabi, capaz de atingir 240 km/h. http://www.tecmundo.com.br/10906-parque-japones-constroi-a-montanha-russa-mais-ingreme-do-mundo.htm#ixzz29IzyxQ8i Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

A roda gigante ao lado tem 12 cadeiras igualmente distribuídas ao longo da circunferência de 9m de raio. A distância do centro da roda ao solo é de 10m. A roda gira, lentamente, com velocidade praticamente constante de 3° por segundo, completando a volta em 120s. Um passageiro sentado em uma das cadeiras observa que sua altura em relação ao solo vai variando de maneira periódica ao longo do passeio, de forma que uma determinada altura é atingida algumas vezes à medida que a roda executa as várias voltas do passeio. Como podemos expressar a altura em que se encontra uma determinada cadeira a cada instante do passeio? Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

360° 12 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 = 30° 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎s 3° 1 𝑠𝑒𝑔 = 30° 𝑥 𝑠𝑒𝑔 ⟹𝑥=10 𝑠𝑒𝑔 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑛 30°= 𝐵𝐵′ 𝑂𝐵 = 𝐵𝐵′ 9 ⟹𝐵 𝐵 ′ =9 ∙𝑠𝑒𝑛 30° Tempo Posição Altura 0 seg A 10 m 10 seg B 10 + 9 ∙𝑠𝑒𝑛 30° 20 seg C 10 + 9 ∙𝑠𝑒𝑛 60° 30 seg D 10 + 9 ∙𝑠𝑒𝑛 90° t seg X 10 + 9 ∙𝑠𝑒𝑛 𝑡 ∙3° Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

𝒉= 𝒇 𝒕 =𝟏𝟎+𝟗 ∙𝒔𝒆𝒏 𝒕+ 𝝅 𝟔𝟎 𝜋 𝑥 = 180° 3° ⟹𝑥= 𝜋 60 Tempo Posição Altura 𝜋 𝑥 = 180° 3° ⟹𝑥= 𝜋 60 𝒉= 𝒇 𝒕 =𝟏𝟎+𝟗 ∙𝒔𝒆𝒏 𝒕+ 𝝅 𝟔𝟎 Tempo Posição Altura 0 seg A 10 m 10 seg B 10 + 9 ∙𝑠𝑒𝑛 30° 20 seg C 10 + 9 ∙𝑠𝑒𝑛 60° 30 seg D 10 + 9 ∙𝑠𝑒𝑛 90° t seg X 10 + 9 ∙𝑠𝑒𝑛 𝑡 ∙3° Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Encontrar o período de h 𝒉= 𝒇 𝒕 =𝟏𝟎+𝟗 ∙𝒔𝒆𝒏 𝒕∙ 𝝅 𝟔𝟎 Encontrar o período de h 𝑝= 2𝜋 |1| =2𝜋 A função se repete a cada 2𝜋 rad Encontrar o valor máximo de h ℎ 𝑀Á𝑋 =10+9 ∙𝟏=19 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Encontrar o valor mínimo de h ℎ 𝑀Á𝑋 =10+9 ∙(− 𝟏)=1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani

Referências IEZZI, Gelson; [et al.]. Matemática: ciência e aplicações, 2: ensino médio. São Paulo: Saraiva, 2010. SMOLE, Kátia; DINIZ, Maria. Matemática: ensino médio, 2. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa: ensino médio, vol. único. São Paulo: FTD, 2002. Funções Seno e Cossseno Profº Juliana Schivani