Mecânica dos Materiais 2 Métodos de Energia Mecânica dos Materiais 2 Universidade de Brasília – UnB Departamento de Engenharia Mecânica – ENM Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA

Densidade de Energia de Deformação em Uma Peça Submetida a Esforço Normal, Para Situações em que a Tensão Atuante for Inferior ao Limite de Escoamento do Material a Energia de Deformação Elástica será Calculada pela Expressão: Considerando que: Exemplo: Para uma Barra de Seção Uniforme:

Para uma Viga Submetida a um Esforço Fletor, Densidade de Energia de Deformação em Uma Peça Submetida a Esforço Fletor, Para uma Viga Submetida a um Esforço Fletor, Considerando que dV = dA dx, Exemplo L/2 L P

Densidade de Energia de Deformação em Uma Peça Submetida a Esforço Torsos, Para um Eixo Submetido a um Esforço Torsos, Considerando que dV = dA dx, Exemplo Para um Eixo de Seção Uniforme:

DU = W + Q Primeira Lei da Termodinâmica: Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Primeira Lei da Termodinâmica: A Energia Total Transferida Para Um Sistema É Igual À Variação Da Sua Energia Interna L DU = W + Q P Energia Interna L DU = Energia Interna W = Trabalho Trocado entre a Vizinhança e o Sistema Q = Calor Trocado entre a Vizinhança e o Sistema DL Trabalho de P P

DU = W + Q Primeira Lei da Termodinâmica: Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Primeira Lei da Termodinâmica: A Energia Total Transferida Para Um Sistema É Igual À Variação Da Sua Energia Interna L DU = W + Q P Energia Interna L DU = Energia Interna W = Trabalho Trocado entre a Vizinhança e o Sistema Q = Calor Trocado entre a Vizinhança e o Sistema DL Trabalho de P P

Determinação da Deflexão de Elementos Estruturais Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Determinação da Deflexão de Elementos Estruturais Barra de Seção Transversal Uniforme Já o Trabalho Realizado Pela Força P1 é expresso pela integral: Sob Condições Elásticas, temos: Vimos na Transparencia Anterior que Igualando DU e W, é possível determinar o deslocamento x1:

Determinação da Deflexão de Elementos Estruturais Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Determinação da Deflexão de Elementos Estruturais Vigas e Eixos de Seção Transversal Uniforme Viga em Balanço com Carga Concentrada Viga em Balanço com Momento Concentrado Eixo Submetido a um Momento Torsor

Exemplo: Determinar o Deslocamento do Nó B do Sistema Abaixo Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Exemplo: Determinar o Deslocamento do Nó B do Sistema Abaixo Cálculo da Energia de Deformação: Cálculo do Trabalho Externo: Analisando a Geometria: Balanço de Energia, U = W: Equilibrio de Forças:

Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos Considere uma barra engastada em uma extremidade e que está preste a ser atingida por um corpo de massa m que se move a uma velocidade v0. Logo após o impacto, a extremidade da barra e a massa entrarão em contato e se deslocarão de xm, até atingirem a condição de equilíbrio estático de forças. Neste instante a velocidade da massa será zero e os pontos da barra serão solicitados por uma tensão máxima de sm

Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos Para Determinar sm será assumido: A Energia Cinética, E, será transferida inteiramente à Estrutura; Durante o processo de transferência de energia o material está sempre no regime linear elástico; = 0

Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos - Exemplo Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos - Exemplo

Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos - Exemplo Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos - Exemplo

Carga Dinâmica - Fator de Impacto Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Descrição do Comportamento de um Objeto de Massa M ao Cair, em Queda Livre, Sobre uma Mola de Rigidez K Ao cair em queda livre o objeto de massa M perderá energia potencial gravitacional e ganhará somente energia cinética até entrar em contato com a mola. Após esse contato, uma parte dessa energia potencial gravitacional será também transformada em energia potencial elástica. Alcançará uma condição de energia potencial gravitacional mínima e ficará oscilando em torno da posição de equilíbrio (h + dest) até a mola dissipar toda a energia cinética e parar de oscilar. g h dest Condição Inicial Condição Final Energia Potencial Gravitacional: Mgy0 Energia Potencial Elástica: 0 Energia Potencial Gravitacional: Mg(y0 - h - dest) Energia Potencial Elástica: Energia Cinética:

Posição de Deflexão Máxima da Mola, y1 Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Descrição do Comportamento de um Objeto de Massa M ao Cair, em Queda Livre, Sobre uma Mola de Rigidez K Assim, após o contato da mola com o objeto, a mola terá que freá-lo até uma posição de equilíbrio dinâmico, y1, ocasionando uma deflexão de ddin em relação a condição indeformada da mola. Como (y0 – y1) = (h + ddin), a variação da energia potencial gravitacional será igual a Mg(h+ddin). A energia potencial elástica acumulada na mola será igual a: M Posição de Equilíbrio Estático K Posição de Deflexão Máxima da Mola, y1 Condição de Energia Potencial Gravitacional Mínima Energia Potencial Gravitacional: Mg(h+ddin) Energia Potencial Elástica: Energia Cinética : 0

Carga Dinâmica - Fator de Impacto Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Descrição do Comportamento de um Objeto de Massa M ao Cair, em Queda Livre, Sobre uma Mola de Rigidez K Assim, fazendo o balanço de Energia entre as condições de máxima, Emax, e de mínima, Emin, energia potencial gravitacional poderemos realizar o seguinte balanço de energia: Altura da Mola ddin

Carga Dinâmica - Fator de Impacto Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Descrição do Comportamento de um Objeto de Massa M ao Cair, em Queda Livre, Sobre uma Mola de Rigidez K Note que a expressão obtida na transparência anterior não nos ajuda muito, pois a mesma possui duas variáveis desconhecidas. Para eliminarmos esse problema, poderemos recorrer a condição de equilíbrio estático e lembrarmos que as forças e deslocamentos estáticos e dinâmicos estão relacionados pela rigidez da mola, ou seja: Força (ddin,Fdin) Energia Potencial Elástica Energia Potencial Gravitacional Fest (y0-y1, Mg) y dest

Carga Dinâmica - Fator de Impacto Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Exemplo: Um bloco de peso W é jogado sobre a posição L/2 da viga apresentada na figura. Considerando que a viga seção transversal bxt, determine a carga dinâmica resultante da queda do peso sobre a viga. O que sabemos: Seção de Máximo Esforço Fletor: L/2 Momento resultante da aplicação de uma força P em L/2:   Tensão de Flexão Máxima: t   b

Carga Dinâmica - Fator de Impacto Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Exemplo: Um bloco de peso W é jogado sobre a posição L/2 da viga apresentada na figura. Considerando que a viga seção transversal bxt, determine a carga dinâmica resultante da queda do peso sobre a viga. Relação entre a Tensão de Flexão Dinâmica e Estática:     t b

Carga Dinâmica - Fator de Impacto Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Exemplo: Um bloco de peso W é jogado sobre a posição L/2 da viga apresentada na figura. Considerando que a viga seção transversal bxt, determine a carga dinâmica resultante da queda do peso sobre a viga. Relação entre a Tensão de Flexão Dinâmica e Estática: t b

Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Consideremos a viga elástica AB, submetida as cargas P1 e P2. Imaginemos, inicialmente, somente a carga P1 é aplicada à viga. Vemos que tanto o ponto C1 quanto o ponto C2 sofrem deflexão e estas são proporcionais à carga P1. Podemos então escrever: xij = Deslocamento do i-esimo ponto devido a j-ésima carga, e aij = Coeficiente de Influência Assim, o trabalho realizado por P1 é:

Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Imaginemos também que somente a carga P2 é aplicada à viga. Vemos novamente que tanto o ponto C1 quanto o ponto C2 sofrem deflexão e estas são proporcionais à carga P2. Podemos então escrever: Assim, o trabalho produzido por P2 será:

Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Somando agora os possíveis deslocamentos teremos Imaginemos agora que após a aplicação da carga P1, será aplicada gradualmente a carga P2. Enquanto P2 cresce gradualmente, o ponto C1 se desloca de x12, realizando o trabalho: P1·x12 = P1· (α12·P2)=α12·P1·P2 Assim, a energia interna acumulada na viga será:

Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Somando agora os possíveis deslocamentos teremos Vamos agora inverter a ordem de aplicação dos carregamentos, ou seja, primeiro se aplica P2 para em seguida aplicar-se gradualmente P1. Enquanto P1 cresce gradualmente, o ponto C2 se desloca de x21, realizando o trabalho: P2·x21 = P2· (α21·P1)=α21·P1·P2 Assim, a energia interna acumulada na viga será:

Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Igualando as expressões para uma condição e outra, encontrariamos: a12 = a21 o que nos mostra que a deflexão produzida em C1 por uma força unitária aplicada em C2 é igual a deflexão produzida em C2 por uma força unitária aplicada em C1.

Teoremas de Castigliano (1875) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teoremas de Castigliano (1875) Tomemos a expressão obtida anteriormente para o trabalho de deformação da viga submetida às cargas P1 e P2: Derivando em relação às Cargas P1 e P2, Primeiro Teorema de Castigliano: “A derivada parcial da energia interna em relação a uma força qualquer aplicada sobre o corpo elástico é igual ao deslocamento que se realiza na direção desta força”

W = DU Teorema de Castigliano – Outra Forma de Dedução Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano – Outra Forma de Dedução Recorrendo aos conceitos fundamentados pela Primeira Lei da Termodinâmica, já discutidos anteriormente, é possível escrever a seguinte expressão: W = DU R1 R2 ou de forma mais explicita, para um sistema solicitado por N cargas externas e reações: onde Derivando a equação de Equilíbrio de Energia em relação a j-ésima carga, Pj, teremos:

Teorema de Castigliano - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Para a treliça da figura, determinar o deslocamento vertical do ponto C. Dado: E = 73 GPa SOLUÇÃO: Inicialmente, vamos aplicar uma força virtual Q no ponto C e calcular as reações e o esforço em cada barra devido a Q.

Teorema de Castigliano - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Vamos agora calcular as reações nos apoios e os esforços nas barras devido a carga P.

Teorema de Castigliano - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Combinando o esforço em cada barra devido a Q e a P é possível montar a tabela abaixo:. Temos que: Fazendo Q = 0, já que ela não faz parte do carregamento, e substituindo os valores numéricos, encontramos o deslocamento do ponto C.

Teorema de Castigliano - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Determine a deflexão e a rotação da extremidade livre da viga em balanço com carregamento uniformemente distribuído, com EI = constante. SOLUÇÃO: Como nenhuma força é aplicada onde deve ser determinada a deflexão, para a utilização do teorema de Castigliano, uma força virtual RA = 0 deve ser aplicada neste ponto, o que permite determinar a derivada parcial da energia de deformação em relação a RA.

Teorema de Castigliano - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo SOLUÇÃO: O momento fletor aplicado em cada seção da viga é calculado pela seguinte expressão:       =0 (direção contrária a direção da força virtual RA)

Teorema de Castigliano - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Determine a deflexão e a rotação da extremidade livre da viga em balanço com carregamento uniformemente distribuído, com EI = constante. SOLUÇÃO: Como nenhuma momento é aplicado onde deve ser determinada a deflexão, para a utilização do teorema de Castigliano, um momento fictício MA = 0 deve ser aplicada neste ponto, o que permite determinar a derivada parcial da energia de deformação em relação a MA.

Teorema de Castigliano - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo SOLUÇÃO: O momento fletor aplicado em cada seção da viga é calculado pela seguinte expressão:       =0 (mesma direção da aplicação do momento MA)

Segundo Teorema de Castigliano Teoremas sobre Trabalho de Deformação Segundo Teorema de Castigliano Se no lugar de derivarmos a equação de energia em relação a carga, fizermos a derivação em relação ao j-ésimo deslocamento, dj, chegaremos a seguinte igualdade: R1 R2 Segundo Teorema de Castigliano: “A derivada parcial da energia interna em relação a um dos deslocamentos do corpo é igual a força aplicada na direção deste deslocamento deslocamento”

Teoremas de Menabrea (1858) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teoremas de Menabrea (1858) Primeiro Teorema de Menabrea: “A derivada parcial da energia interna em relação a uma reação é nula” R1 R2 Se imaginarmos a reação, R, em um vinculo da estrutura como uma força independente, e admitirmos a mesma hipótese usada no desenvolvimento do primeiro teorema de Castigliano, verifica-se que: = 0 (Deslocamento do Vínculo)

Teorema de Menabrea - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Menabrea - Exemplo SOLUÇÃO: Vamos liberar o grau de liberdade de rotação da viga no ponto B e introduzir o momento desconhecido MB. Considere a viga de secção uniforme, simplesmente apoiada em A e engastada em B, representada ao abaixo. Determine o momento de engastamento em B. Considere apenas a rigidez à flexão EI da barra. . Como consequência, as reações nos apoios podem ser calculadas e o momento atuante numa seção viga na coordenada x será expressa pela equação:

Teorema de Menabrea - Exemplo Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Menabrea - Exemplo SOLUÇÃO: Recorrendo agora ao 1º teorema de Menabrea: Considere a viga de secção uniforme, simplesmente apoiada em A e engastada em B, representada ao abaixo. Determine o momento de engastamento em B. Considere apenas a rigidez à flexão EI da barra. . onde:

Teoremas de Menabrea (1858) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teoremas de Menabrea (1858) Segundo Teorema de Menabrea: “A derivada parcial da energia interna em relação a deslocamento livre é nula” R1 R2 Se imaginarmos a presença de uma força imaginária de intensidade PI, em uma posição onde não existe carga aplicada e admitirmos a mesma hipótese usada no desenvolvimento do segundo teorema de Castigliano, verifica-se que: = 0 (Intensidade da Força na Direção de dI é Nula

Teoremas de Menabrea (1858) Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teoremas de Menabrea (1858) Conforme pode ser verificado, a viga é hiper estática. Para obtermos mais uma equação que possibilite a eliminação da condição hiperestática, usaremos o 1º Teorema de Menabrea. Para isso, a reação no apoio A será substituído por uma força fictícia RA. Como consequência poderemos escrever : Exemplo: Determinar as reações dos apoios da viga de seção uniforme submetida ao carregamento indicado.

Questão 1 da 3ª Prova Achar a deflexão horizontal provocada pela força concentrada P, da extremidade da barra curva mostrada abaixo. A rigidez EI da barra é constante. Desprezar o efeito da força cortante sobre a deflexão.