Metodologia de Superfície de Resposta (RSM) (Montgomery,2005, cap. 11)

Metodologia de Superfície de Resposta Os projetos experimentais 2k ou 2k-p são usados normalmente para caracterizar o processo (encontrar os fatores significativos, verificar quais provocam maiores efeitos, etc.) A metodologia de superfície de resposta geralmente é aplicada com o objetivo de otimizar o processo (encontrar uma combinação de níveis dos fatores que levam a resposta para o melhor valor possível, geralmente em termos de valor esperado).

Metodologia de Superfície de Resposta Objetivos: encontrar a combinação de fatores do processo (X1, X2, ..., Xk) que leva à melhor resposta - o ótimo (máximo ou mínimo). conhecer o comportamento da resposta (ou do valor esperado da resposta) quando ocorrem mudanças nos níveis dos fatores do processo. Envolve: projeto experimental; ajuste de um modelo de regressão aos dados (superfície de resposta); métodos de otimização.

Modelos de primeira ordem Num experimento preliminar, é usual aplicar um projeto 2k ou 2k-p, que permite ajustar um modelo de primeira ordem (assume-se aqui que os fatores são quantitativos). X1 X2 X3 ou OBS. Havendo fator qualitativo significativo, constrói-se uma superfície de resposta para cada categoria desse fator; ou deixa este fator fixo no nível com melhor resposta.

Modelos de primeira ordem Com o uso de pontos centrais é possível estimar o erro experimental (o que permite testar a significância dos coeficientes) e, também, testar se existem efeitos não lineares (curvatura) significativos. X1 X2 X3

Estratégia de análise Ajusta-se aos dados um modelo de primeira ordem (polinômio de primeiro grau). Verifica-se: os fatores significativos; possível existência de curvatura ou de interação.

Exemplo Um engenheiro químico está interessado em determinar as condições de operação que maximizam a produção de um processo. Variáveis controláveis que influenciam a produção, y: v1 = tempo de reação (minutos) v2 = temperatura (0F) 40,0 41,5 39,3 40,9 40,3 40,5 40,7 40,2 40,6 x1: -1 0 +1 v1: 30 35 40 x2 -1 +1 v2 150 155 160 Ex. CCD.xls

Estratégia de análise CASO 1: se na etapa inicial for detectada uma curvatura significativa, aumenta-se o projeto experimental de forma a permitir o ajuste de uma função quadrática (polinômio de segundo grau). tipo fatorial 32 CCD com 2 fatores X1 X2

Estratégia de análise CASO 2: se na etapa inicial não for detectada uma curvatura significativa, procura-se a direção em que provavelmente se encontra o valor ótimo (máximo ou mínimo), fazendo-se novos ensaios nesta direção (método da máxima inclinação ascendente (descendente)).

Método da máxima inclinação ascendente (descendente) Busca da região onde deve estar o ótimo (máximo ou mínimo).

Método da máxima inclinação ascendente 0,775 0,325

Método da máxima inclinação ascendente Em termos das variáveis codificadas: x2 x1 0,775 0,325 v1 = tempo v2 = temperatura

Método da máxima inclinação ascendente Em termos das variáveis originais: v2 v1 0,065 0,155 v1 = tempo v2 = temperatura

Algoritmo da máxima inclinação ascendente Seja a função de primeiro grau ajustada aos dados experimentais: 1) Escolha o tamanho do passo para uma das variáveis, digamos xj. Usualmente escolhe-se a variável mais conhecida ou a que tenha o coeficiente de regressão de maior magnitude; 2) O passo a ser dado pelas outras variáveis é dado por: (i = 1, 2, ..., k, sendo i  j); 3) Converta os xj (i = 1, 2, ..., k) em termos das variáveis originais (vj).

Projetos experimentais para ajustar modelos de segunda ordem B A A B tipo central composto (CCD) com 2 fatores tipo fatorial 3k (k = 2 fatores) N = nf + na + nc = = 2k + 2k + 5 N = 3k

Projetos central composto (CCD) com precisão uniforme k (fatores) 2 3 4 5 5 6 7 p (replicações) 1 1 1 1 1/2 1/2 1/2 nf (ptos fatoriais) 4 8 16 32 16 32 64 na (ptos axiais) 4 6 8 10 10 12 14 nc (ptos centrais) 5 6 7 10 6 9 14 N (total de ptos) 13 20 31 52 32 53 92  1,414 1,682 2,000 2,378 2,000 2,378 2,828

Exemplo de um CCD com 2 fatores X1 X2 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1,414 0 -1,414 0 0 1,414 0 -1,414 0 0 X2 X1 pontos fatoriais nf = 2k = 4 pontos axiais na = 4 pontos centrais nc = 4

Uso de blocos pontos fatoriais nf = 2k = 4 bloco 1 pontos centrais X1 X2 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 0 0 1,414 0 -1,414 0 0 1,414 0 -1,414 pontos fatoriais nf = 2k = 4 bloco 1 pontos centrais nc = 4 pontos axiais na = 4 bloco 2

Ajuste de um polinômio de segunda ordem Por ex., para k = 2: termos quadráticos puros termos lineares termo de interação

Ajuste de um polinômio de segunda ordem Estimativa dos coeficientes Dados do experimento Quando k = 2, pode-se visualizar a superfície de resposta (ou suas curvas de nível) e analisá-la por meio de gráficos. Ver arquivo: CCD.xls

Análise de uma superfície de segunda ordem (k  2) Todas derivadas parciais nulas ponto estacionário ponto de máximo ponto estacionário ponto de mínimo ponto de sela

Análise de uma superfície de segunda ordem y = 79,940 + 0,995 x1 + 0,515x2 - 1,376x12 - 1,001x22 + 0,250 x1x2 Notação vetorial:

Análise de uma superfície de segunda ordem y = 79,940 + 0,995 x1 + 0,515x2 - 1,376x12 - 1,001x22 + 0,250 x1x2 Ponto estacionário: Valor de y no ponto estacionário:

Análise de uma superfície de segunda ordem y = 79,940 + 0,995 x1 + 0,515x2 - 1,376x12 - 1,001x22 + 0,250 x1x2 Ponto estacionário: tempo = 86,95 minutos temperatura = 176,53 0F

Análise de uma superfície de segunda ordem Ponto estacionário: Para verificar o significado do ponto estacionário, pode-se verificar os sinais dos autovalores de B. Sejam 1, 2, ... k os autovalores de B i é um autovalor de B <==> |B - i| = 0 E um vetor não nulo x, tal que Bx = ix é dito autovetor de B associado ao autovalor i (i = 1, 2, ...,k).

Exemplo Autovetores: Autovalores: 2 + (2,3788) + 1,3639 = 0 i é um autovalor de B <==> |B - iI| = 0 E um vetor não nulo x, tal que Bx = ix é dito autovetor de B associado associado ao autovalor i (i = 1, 2, ...,k). Exemplo Autovetores: Autovalores: 2 + (2,3788) + 1,3639 = 0 Usando 2 encontra-se o segundo autovetor. Donde: 1 = -0,9641 e 2 = -1,4147

Análise de uma superfície de segunda ordem Ponto estacionário: 1, 2, ... k autovalores de B todo i < 0 ===> o ponto estacionário é um máximo todo i > 0 ===> o ponto estacionário é um mínimo

Análise de uma superfície de segunda ordem y = 79,940 + 0,995 x1 + 0,515x2 - 1,376x12 - 1,001x22 + 0,250 x1x2 Autovalores de são o ponto estacionário é um ponto de máximo. O tempo = 86,95 minutos e a temperatura = 176,53 0F levam a uma produção máxima.

Análise de uma superfície de segunda ordem Forma canônica: onde 1, 2, ... k são os autovalores de B e (para k = 2) autovetor associado a 1 autovetor associado a 2

Análise de uma superfície de segunda ordem Forma canônica: x2 w2 xs x1 w1

Análise de uma superfície de segunda ordem Sistema de cumeeira Suponha i  0. Então: Haverá pouca variação na direção de i Pode-se escolher o nível de wi mais econômico.

x2 w2 xs x1 w1 Sistema de cumeeira Pode-se caminhar bastante na direção de W2 sem que a resposta altere significativamente. w2 xs x1 w1

Principais Delineamentos Box- Behnken

Principais Delineamentos central composite design

Principais Delineamentos face centered design

Principais Delineamentos 3k factorial design

Função de utilidade (Desirability function) Nesta abordagem se cria uma função objetivo – que chamaremos de função de utilidade -, a qual é função da resposta y e do objetivo: encontrar o máximo, o mínimo ou um valor ideal. É feita uma padronização para permitir o uso de múltiplas respostas.

Função de utilidade Caso de uma resposta e objetivo para a resposta é um valor máximo. Sejam y a resposta; L o limite mínimo de estudo e T o máximo desejável. d 1 Consideraremos r = 1 (caso linear) y L T

Função de utilidade Caso de uma resposta e objetivo para a resposta é um valor mínimo. Sejam y a resposta; U o limite máximo de estudo e T o mínimo desejável. d 1 Consideraremos r = 1 (caso linear) y T U

Função de utilidade Caso de uma resposta e objetivo atingir um valor alvo (a resposta pode ser maior ou menor). Sejam y a resposta; L o limite mínimo de estudo U o limite máximo de estudo e T o mínimo desejável (valor-alvo) d 1 Consideraremos r1 = r2 = 1 (caso linear) L U y T

Função de utilidade – múltiplas respostas Caso de múltiplas respostas. No caso do sistema ter m respostas, deve-se construir m funções de utilidade individuais: d1, d2, ..., dm, sendo cada uma com forma coerente com o objetivo da respectiva resposta (se máximo, se mínimo ou se valor individual). Obtém-se a função de utilidade geral pela média geométrica das individuais:

Que Pena : Acabou Marcus Antonio Viana Duarte mvduarte@mecanica.ufu.br (034) 91068046 Muito Obrigado Por Tudo