Sistemas Lineares Prof. Dr. Cesar da Costa 4.a Aula: Transformada de Laplace (Parte 2)

A Transformada de Laplace (Revisão)  Etapas:. 1. Um problema difícil é transformado em uma equação simples (equação subsidiária) 2. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas. 3. A resolução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado (tabela)

Definição:

Solução:

Solução no MATLAB

Solução:

Solucao no MATLAB

A Transformada de Laplace (Revisão)  Algumas propriedades da Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace (Revisão) `Solução: (0)

A Transformada de Laplace (Revisão) Exemplo: Calcular a carga do Capacitor Solução: (1) (2) Substituindo 2 em 1, temos: (3) Rearrumando a equacao 3: (4) i

Solucao: Aplicando Laplace na equacao 4: (4) Rearrumando a equacao :

A Transformada de Inversa de Laplace  A idéia é encontrar :  A transformada inversa de Laplace, que permite obter f(t), a partir de F(s) e dada por:

A Transformada de Inversa de Laplace  A maneira prática de obter f(t) a partir de F(s) é utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace, resolução atraves de frações parciais e pelo MATLAB. 1. Tabelas de Transformada Inversa de Laplace

A Transformada de Inversa de Laplace

2. Resolução atraves de Frações Parciais  Nesse contexto, o método da decomposição em frações parciais permite, muitas vezes, transformar a representação F(s) de forma a permitir o uso da Tabela de Transformads e suas propriedades. 1.o Caso: F(s) tem polos distintos (1)

A Transformada de Inversa de Laplace  Na equação (1) r (indice 1, 2, …n) são constantes denominadas resíduos associados aos polos p.  Para determinação dos valores de r, pode-se somar as frações parciais e comparar o numerador resultante com o polinomio N(s), formando um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os resíduos.  Para efeito de simplificação dos cálculos para obtenção dos resíduos, utiliza-se a fórmula a seguir:

Exercício 1:  Obtenha a Transformada inversa de Laplace da seguinte função F(s): Solução:

Portanto: Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace: para

Exercício 2: Dada a função F(s). Determine f(t): Solução:

Então: Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace: para

Exercício 3: Dada a função F(s). Determine f(t):

Expansão em Frações parciais usando o MATLAB Considere a seguinte função: Para essa função, tem-se: num = [ ] den = [ ] O comando [r,p,k]=residue(num,den)

Representacao em frações parciais: r1r2 r3 -p1 -p2-p3

Transformada Inversa de Laplace usando o MATLAB Dada a função F(s). Determine f(t):

Transformada Inversa de Laplace usando o MATLAB Dada a função F(s). Determine f(t):

Exemplo: Massa-mola (1)

Aplicando a transformada de Laplace (2) (3) Aplicando propriedade da transformada de Laplace (4) (5)

Achando a transformada inversa de Laplace – f(t)

Lista de Exercícios:  Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções F(s)