Nicollo Tartaglia Gerônimo Cardano (~1500-1557) (~1501-1576) MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Números complexos e suas propriedades Autor de uma fórmula geral para resolver equações do tipo x2 + px = q, com p e q reais. Mas não chegou a publicar sua obra. Nicollo Tartaglia (~1500-1557) Quebrou um juramento feito a Tartaglia publicou Arts Magna, com a fórmula criada por Tartaglia para resolver equações cúbicas (x3 - 15x = 4), onde aparece a raiz quadrada de um número negativo, inexistente na época. Gerônimo Cardano (~1501-1576) Imagem: (a) Magnus Manske / Nicollo Tartaglia / Public Domain ; (b) Mattes / Gerônimo Cardano / Public Domain

Raphael Bombelli Leonhard Euler (~1526-1573) (~1707-1783) MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Números complexos e suas propriedades Raphael Bombelli (~1526-1573) Leonhard Euler (~1707-1783) Imagem: Soerfm / Leonhard Euler / Public Domain Imagem: SEE-PE Deu continuidade à fórmula publicada por Cardano, e usando o que chamou de “ideia louca”, considerou a raiz quadrada de – 1 um número imaginário. Usou pela primeira vez a letra i para representar a raiz quadrada de – 1.

Carl Friderich Gauss (1777-1855) MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Números complexos e suas propriedades Carl Friderich Gauss (1777-1855) Imagem: Gottlieb Biermann A. Wittmann / Public Domain Em 1801 usou o símbolo i, criado por Euler e, após o seu uso amplificou a aceitação deste símbolo, criou a expressão Número Complexo.

O que diz a História da Matemática? MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Números complexos e suas propriedades O que diz a História da Matemática? Bombelli tentou encontrar regras para trabalhar com raízes quadradas de números negativos. Ele chamava esses novos “números” de “fictícios”, “impossíveis”, “místicos” e “imaginários”. Ele resolveu chamar como um número qualquer (imaginário, fictício) e, usando as mesmas regras já conhecidas na Álgebra elementar, deu a partida para a ampliação do Conjunto dos Números Reais. A MATEMÁTICA É UMA CONSTRUÇÃO HUMANA!

Números Complexos SITUANDO HISTORICAMENTE O CONCEITO MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Números complexos e suas propriedades Números Complexos SITUANDO HISTORICAMENTE O CONCEITO Com a chegada deste novo CONJUNTO, os conjuntos numéricos podem ser representados pelo diagrama: C R I Q Z N

Onde usar os números complexos? MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Números complexos e suas propriedades Onde usar os números complexos? Os números complexos deram grandes contribuições para o avanço da Engenharia. A modelagem de circuitos elétricos, o movimento de líquidos e gases ao redor de obstáculos, o cálculo da força de sustentação da asa de um avião e o estudo da interferência em linhas de transmissão de energia e telefonia são alguns exemplos de aplicações destes números. Imagem: (a) Axwel / Avião / Creative Commons Attribution 2.0 Generic; (b) Glogger / Celular / GNU Free Documentation License

CONHECIMENTOS PRÉVIOS Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos CONHECIMENTOS PRÉVIOS Disponível em http://piadasnerds.com/wp-content/uploads/2010/04/sei-lah.jpg, acesso em 02/08/2015

Exemplo: Resolva a equação no campo dos números complexos. Resposta: S = { 1 – i ; 1 + i }

3. FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO:

3. FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO: onde Exemplos: z1 = 2 + 3.i ; z2 = – 1 + i ; z3 = 5.i “a” é a parte real do complexo “z” e “b” é sua parte imaginária .

4. OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA

4. OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA 4.1. Igualdade de números complexos: 4.2. Adição / Subtração: A operação de multiplicação de dois números complexos ocorre de acordo com a regra de multiplicação de binômios, entretanto, devemos lembrar que Exemplo: Sendo os números complexos e , calcule Resolução:

O conjugado do complexo , a e b reais, é o complexo Exemplo: Determine C, tal que Inverte-se o sinal da parte imaginária Resolução: Fazendo-se z = a + b.i e , teremos:

DIVISÃO DE COMPLEXOS

POR QUAL MOTIVO ? 4.5. DIVISÃO DE COMPLEXOS: Para efetuarmos a divisão de dois números complexos , utilizaremos o conjugado do denominador num procedimento semelhante à operação de racionalização de denominadores, ou seja: Sendo o denominador na forma ( a + b.i ), com b ¹ 0. POR QUAL MOTIVO ? Exemplo: Sendo os números complexos , calcule o valor de Resolução:

5. POTÊNCIAS DE “ i ”

5. POTÊNCIAS DE “ i ” Os resultados de , com o expoente “n” variando, se repetem com um período de quatro. Para o cálculo da potência I n , com “n” inteiro e , divide-se n por 4, obtendo-se resto inteiro “r”. Tem-se então

a) Calcular i 10 b) Calcular i 53

Observação:

NÚMEROS COMPLEXOS NO PLANO Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos NÚMEROS COMPLEXOS NO PLANO Assim como os Números Reais, os Números Complexos, também podem ser representados no plano. O plano para representar os Números Complexos é chamado de plano complexo ou plano de Argand-Gauss. O plano complexo associa o ponto (a, b) do plano ao número complexo a + bi. O plano recebe este nome em homenagem aos matemáticos, Jean-Robert Argand (1768 – 1822) e Carl Gauss (1777 – 1855), que associaram os números a e b de um número complexo a coordenadas de um ponto no plano, criando assim uma representação geométrica para os números complexos.

NÚMEROS COMPLEXOS NO PLANO Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos NÚMEROS COMPLEXOS NO PLANO O número complexo z = a + bi é representado no plano pelo ponto P de coordenadas (a, b). Dizemos que P é o afixo de z. b a eixo real (Re) P (a, b) eixo imaginário (Im)

NÚMERO COMPLEXO COMO UM VETOR Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos NÚMERO COMPLEXO COMO UM VETOR Todo número complexo z = a + bi (não nulo), com a e b reais, pode ser representado por um vetor de origem no ponto O (0, 0) e extremidade no ponto P (a, b). PARA LEMBRAR Vetor é uma entidade matemática que define grandezas que se caracterizam por módulo, direção e sentido, como velocidade e força, por exemplo. Um vetor é representado por um segmento de reta orientado. O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal, o sentido é indicado pela seta. b a eixo real (Re) P (a, b) ou z = a + bi eixo imaginário (Im) O

MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO Dado o complexo z = a + bi, sendo a e b números reais, denominamos módulo de z, e indica-se por |z| ou ρ(lê-se: rô), o número real não-negativo dado por 𝑎 2 + 𝑏 2 . b a eixo real (Re) P (a, b) ou z = a + bi eixo imaginário (Im) O 𝐳 = 𝛒= 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝛒

Calcular o módulo dos números complexos: z 1 = 3 +i Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos Exemplos: Calcular o módulo dos números complexos: z 1 = 3 +i z2 = 1 1+i Resolução: ρ= a 2 + b 2 ⇒ρ= ( 3 ) 2 + 1 2 ⇒ρ= 4 ⇒ρ=2 Neste caso, vamos inicialmente escrever z2 na forma algébrica (a + bi). Para isso, fazemos (divisão de números complexos): z2 = 1 1+i . 1 − i 1−i ⇒z2 = 1 − i 1 2 − i 2 . Lembrando que i 2 = - 1, temos: z2= 1 − i 1+1 .⇒z2 = 1 − i 2 ou ainda: z2 = 1 2 - 1 2 i Finalmente, calculando o módulo de z2, temos: ρ= 1 2 2 + 1 2 2 ⇒ρ= 1 4 + 1 4 ⇒ρ= 2 4 ⇒ ρ= 2 2

ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO Considerando o número complexo z = a + bi, sendo a e b números reais, denominamos argumento o número θ (0 ≤ θ < 2π). z = a + bi   = arg(z) a b

a P b O A 𝒔𝒆𝒏 𝜽= 𝒃 𝝆 e𝒄𝒐𝒔 𝜽= 𝒂 𝝆  Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos DETERMINANDO O ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO POR MEIO DA TRIGONOMETRIA Sendo z = a + bi, o argumento θ (0 ≤ θ < 2π) pode ser determinado pelas razões: Disponível em http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jonata_Boy_with_headphone.svg, acesso em 02/08/2015 𝒔𝒆𝒏 𝜽= 𝒃 𝝆 e𝒄𝒐𝒔 𝜽= 𝒂 𝝆 a Você compreendeu o porquê destas razões trigonométricas? Observe o triângulo OAP formado no plano! P  =arg(z) O b A

Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos Com o que aprendemos até aqui, já podemos escrever um número complexo na forma trigonométrica. Disponível em http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jonata_Boy_with_headphone.svg, acesso em 02/08/2015

FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXO Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXO Dado um complexo, não nulo, z = a + bi, sendo a e b reais, ρ o módulo de z e 𝜽 o argumento de z, podemos representá-lo na forma: 𝒛= 𝝆( 𝒄𝒐𝒔 𝜽+𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝜽) Esta é a forma trigonométrica (ou polar) do número complexo. Disponível em http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jonata_Boy_with_headphone.svg, acesso em 02/08/2015

z = 𝟐 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝝅 𝟒 +𝒊.𝒔𝒆𝒏 𝟑𝝅 𝟒 ou ainda: z = 𝟐 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟑𝟓°+𝒊.𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓° Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos Exemplo: Um certo número complexo z tem parte real igual a – 2 e parte imaginária igual a 2. Escreva z na forma trigonométrica. Resolução: Forma algébrica de z: z = -2 + 2i. Para representar z na forma trigonométrica, devemos determinar 𝜌 e 𝜃 : ρ= a 2 + b 2 ⇒ρ= (−2) 2 + 2 2 ⇒ρ= 8 ⇒ρ=2 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃= 𝑏 𝜌 ⇒𝑠𝑒𝑛 𝜃= 2 2 2 ⇒𝑠𝑒𝑛 𝜃= 2 2 e 𝑐𝑜𝑠 𝜃= 𝑎 𝜌 =− 2 2 2 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜃=− 2 2 . Qual o ângulo, da primeira volta, com as razões seno e cosseno obtidas? Então: 𝜃 =135° ou 3𝜋 4 𝑟𝑎𝑑. Forma trigonométrica de z: z = 𝟐 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝝅 𝟒 +𝒊.𝒔𝒆𝒏 𝟑𝝅 𝟒 ou ainda: z = 𝟐 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟑𝟓°+𝒊.𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓°

Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos APLICAÇÃO 1 Represente no plano de Argand-Gauss o número complexo da questão anterior, z = - 2 + 2i. Resolução: Dos cálculos já realizados temos que: ρ=2 2 e 𝜃 =135° ou 3𝜋 4 𝑟𝑎𝑑. Também, sabemos que z no plano é representado pelo par ordenado (-2, 2), afixo P. Assim:  =arg(z) - 2 Im P 2 Re

Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos APLICAÇÃO 2 Dado o número complexo z = 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 +𝒊.𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 , qual a forma algébrica de z? Resolução: Para escrever z na forma algébrica é preciso identificar o valor de a e de b, o que pode ser feito determinando as razões trigonométricas. Assim: z = cos 𝜋 2 +𝑖.𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 ⇒ z = 0 + i. 1 ⇒ z = i Resposta: A forma algébrica de z é z = i

Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos APLICAÇÃO 3 Sabendo que um número complexo w tem módulo igual a 20 e argumento igual a 𝜋 3 rad (ou 60°). Escreva a forma algébrica de w. Resposta: w = 10+10 3 𝑖

Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos APLICAÇÃO 4 Escreva a forma algébrica do número complexo z, sabendo que z =2 cos 3𝜋 4 +𝑖.𝑠𝑒𝑛 3𝜋 4 . Resposta: z = - 2 +𝑖 2

Escreva na forma trigonométrica o número Matemática, 3º ano, Forma trigonométrica dos números complexos APLICAÇÃO 5 A Professora Eduarda passou a seguinte questão para os seus alunos: Qual resposta você daria a esta questão? Escreva na forma trigonométrica o número 𝑣=𝑖+ 𝑖 2 + 𝑖 3 + 𝑖 4 + …+ 𝑖 51 Resposta: w= cos 𝝅 + i sen𝝅