LOGARITMOS EQUAÇÕES

Função logarítmica Uma função f: é função logarítmica quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = log a x para todo x.  g(x) =  h(x) =  i(x) = Exemplos

Valor de uma função logarítmica Dada a função, vamos calcular f(7). Logo: f(7) = 1 Nesse caso, temos x = 7, então:

Valor de uma função logarítmica Resolução

Equações logarítmicas Equações cuja incógnita está no logaritmando ou na base do logaritmo são chamadas equações logarítmicas.    Exemplos

a)Vamos resolver a equação log 6 (x + 5) = 2. 1 o ) Condição de existência: x + 5 > 0  x > –5 2 o ) Resolução da equação: log 6 (x + 5) = 2  6 2 = x + 5  x = 36 – 5  x = 31 definição de logaritmo Como 31 atende à condição de existência do logaritmo, então: x = 31 Resolução de equações logarítmicas

b) Vamos determinar a solução do sistema. 1 o ) Condição de existência: 2 o ) Resolução do sistema: Substituindo (I) em (II): 4y + y = 5  5y = 5  y = 1 (I) (II) x > 0 e y > 0 Substituindo y por 1 em (I): x = 4 ∙ 1  x = 4 Como ambos os resultados são positivos, temos: S = {(4, 1)} Resolução de equações logarítmicas

c) Agora vamos determinar a solução da equação log (x + 1) 9 = 2. 1 o ) Condições de existência: x + 1 > 0  x > –1 2 o ) Resolução da equação: log (x + 1) 9 = 2  (x + 1) 2 = 9   x 2 + 2x – 8 = 0  x = 2 ou x = –4 Como x = –4 não atende à condição de existência do logaritmo, então: x = 2 Portanto, o conjunto solução é S = {2} x + 1  1  x  0 Resolução de equações logarítmicas

Exercícios 1. Resolver a equação log 2 x – 5 log x + 4 = 0. Resolução Condição de existência: x > 0. Substituindo log x por y, temos: Como y = log x, então: Como ambos os resultados são positivos, temos: S = {10, }  log x = 1  x = 10  log x = 4  x =

Inequações logarítmicas Inequações que têm a incógnita no logaritmando são denominadas inequações logarítmicas.     Exemplos

 Quando a > 1: Sinal mantido Relações de desigualdade nas inequações

 Quando 0 < a < 1: Sinal invertido Relações de desigualdade nas inequações

a) Vamos resolver a equação log (x + 13) > log 2. 1 o ) Condição de existência: 2 o ) Resolução da inequação: As condições (I) e (II) devem ser satisfeitas: (II) sinal mantido x + 13 > 0  x > –13 (I) a = 10 > 1 Logo: S = Resolução de inequações logarítmicas

b) Vamos resolver a inequação simultânea 1 < log 3 (2x – 1) < 4. 1 o ) Condição de existência: 2x – 1 > 0 – (I) 2 o ) Resolução da inequação. Como:   4 Então: Resolução de inequações logarítmicas Como a base é 3 (maior que 1), temos:  3 2 (II)  2x – 1 < 81  x < 41 (III) Determinando a interseção de I, II e III, temos: Logo: S =

Exercícios 1. Resolver a inequação.

Condições de existência:  x > 0  –x + 10 > 0  x < 10. Devemos escrever –2 como o logaritmo de um número na base : Assim: 0 < x < 10 (I) Resolução:

Como a base é (está entre 0 e 1), a relação de desigualdade entre os logaritmos se inverte entre os logaritmandos: Resolvendo a equação –x x – 9 = 0: sinal invertido Resolução: continuação

Para estudar o sinal da função quadrática f(x) = –x x – 9, cujos zeros são 1 e 9, vamos esboçar o gráfico: Portanto: (II) Resolução: continuação

As desigualdades (I) e (II) devem ser satisfeitas: Logo: S = 0 < x < 10 e 1 ≤ x ≤ 9 Resolução: continuação

2. Determinar para que valores de x é definida a função f(x) = log 6 (log 2 x). Exercícios

As desigualdades (I) e (II) devem ser satisfeitas: x > 0 e x > 1 Logo: D(f) = Resolução Para que essa função seja definida, é necessário que log 2 x > 0. Condição de existência: x > 0 (I) Sabendo que a base é 2 (maior que 1) e que 0 = log 2 1, podemos resolver a inequação: log 2 x > 0 log 2 x > log 2 1 x > 1 (II)