O Processo de Poisson Série: Processos Estocásticos Disciplina: Métodos Matemáticos 1C Dennis S. Poisson, Sceaux, France

PROCESSO DE POISSON 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS

Processo de Contagem Muitos fenômenos físicos são probabilisticamente descritos pelo mesmo processo de formação de uma fila. Os clientes chegam aleatoriamente e independentemente um do outro a uma taxa normalmente constante de clientes/segundo k 4 t N N(0)=0 P 1 =  t P + de 1 em  t = 0  t -> 0

Processo Aleatório de Contagem {N t, 0  t  +  } Propriedades: a. a variável aleatória de contagem N t assume unicamente valores inteiros não negativos e N 0  0 b. o processo aleatório de contagem {N t, 0  t  +  } tem estacionaridade e incrementos independentes. c.

d. onde é uma constante positiva e onde 0(  t) é uma função de  t a qual vai a zero mais rapidamente que  t, i.é., onde 0(  t) é uma função tal que Um processo aleatório o qual satisfaz as hipóteses (a) a (d) é chamado um Processo de Contagem de Poisson e, como vamos mostrar, o número de eventos que ocorre em um dado intervalo de tempo tem uma Distribuição de Probabilidade de Poisson. (1)

Das propriedades c e d tiramos que (2)

Vamos agora determinar a distribuição de probabilidade da variável aleatória de contagem N t. Consideremos o intervalo (0,t+  t] e dividamos ele em dois conforme figura abaixo: 0 t t+  t tt Introduzimos a notação e

O evento condicional [N t+  t =k | N t =j] é equivalente ao evento [N t+  t - N t = k-j] e então suas probabilidades são iguais, Por hipótese, o processo de contagem tem incrementos estacionários e então segue-se que As probabilidades de transição p j,k (t,t+  t) dessa forma dependem unicamente do intervalo de tempo  t, e escrevemos então que (3)

Consideremos agora a probabilidade de que nenhum evento ocorra no intervalo (0,t+  t]. Esta situação ocorre quando nenhum evento ocorre no intervalo (0,t] e nem no (t,t+  t]. Desde que os intervalos não estão sobrepostos e os incrementos de contagem são variáveis aleatórias independentes: Segue-se (2) e (3) que Usando este resultado em (4), subtraindo p 0 (t) de ambos os lados e dividindo por  t, teremos (4)

Passando o limite  t  0, tem-se como a equação diferencial para probabilidade de que nenhum evento ocorra em um intervalo de duração t. Sua solução é, notando que segue-se

Tendo obtido p 0 (t) vamos agora determinar p k (t) para k  1. Começando de N 0 =0, N t+  t pode tornar-se igual a um inteiro k de diversas formas: pode ser que não aconteça nenhum evento no intervalo (0,t] e k eventos no (t,t+  t]; pode acontecer um evento no intervalo (0,t] e k-1 no (t,t+  t]; etc. Dessa forma, podemos escrever pois são eventos mutuamente exclusivos. (5)

Determinação de p k (t) Passo A. Mostrar que se 0  j  k-2, então Logo, 0  j  k-2,

Passo B. Mostrar que Como vimos em (5) assim Como vimos no Passo A. 0  j  k-2,

assim Lembrando que e que teremos que

Subtraindo p k (t) em ambos os lados, dividindo por  t e tomando o limite,

Passo C. Para k=1 temos que mas, como provado anteriormente assim

mas, como visto, assim K=2

mas, como vimos assim K=3 (idêntico)

Logo, por indução finita, Portanto, a variável aleatória contínua N t tem uma distribuição de probabilidade de Poisson. Pode-se mostrar que E[N t ]=var[N t ]= t

Tempos de Chegada Freqüentemente é necessário se estudar o tempo requerido para que um dado número de eventos k ocorra, assim como contar o número de eventos que ocorrem em um dado intervalo de tempo t. Chamaremos então o tempo de ocorrência t k do k-ésimo evento de tempo de chegada do k-ésimo. Chamaremos a variável aleatória que representa a distribuição dos possíveis valores dos tempos de chegada de T k k 4 t N t1t1 t2t2 t k+1 ttktk N(t)

Vamos determinar a relação entre a função distribuição de probabilidade do tempo de chegada do k-ésimo evento, T k, e a variável aleatória de contagem N t Por definição Notemos que o evento [T k  t] é equivalente a [N t > k-1], e dessa forma têm a mesma probabilidade. Assim: Escrevendo o resultado acima em termos das correspondentes funções distribuição de probabilidade, teremos que Resultado válido para qualquer processo de contagem desde que N 0 =0. (6)

Vamos aplicar o resultado anterior ao caso do processo de contagem de Poisson. Como visto quando {N t,0  t<+  } é um processo de contagem de Poisson. Dessa forma, para k  1, Usando o resultado (6), segue-se então que para t  0 para t<0

Tempos entre chegadas Tendo considerado os tempos de chegada T k de um um processo de contagem aleatório {N i, 0  t<+  }, vamos agora estudar algumas das propriedades estatísticas dos intervalos entre sucessivos tempos de chegada. Chamaremos as durações destes intervalos Z k de intervalos entre chegadas, onde,para k=2,3,4,... t 0 t1t1 t2t2 t k-1 tktk z1z1 z2z2 zkzk

A seqüência de intervalos entre chegadas forma dessa forma um processo aleatório de parâmetro discreto com variável aleatória contínua {Z k, k=1,2,3,...}. Vamos agora determinar a função distribuição de probabilidade do K-ésimo intervalo entre chegadas, Z k, em termos da distribuição de probabilidade da variável aleatória de contagem N t. Para isto vamos primeiro determinar a probabilidade Segue-se, da definição de intervalo entre chegadas, que o evento [Z k >z] e [T k - T k-1 >z] são equivalentes

Suponha agora que o valor observado de T k-1 é t k-1. O evento [T K >T k-1 +z|T k-1 =t k-1 ] ocorre se e somente se o processo de contagem não incrementar durante o intervalo (t k-1,t k-1 + z]: Desde que os eventos são equivalentes, eles têm probabilidades iguais. Obtemos então o resultado Dessa forma, segue-se que (7)

Se o processo de contagem é estacionário, então segue-se que a probabilidade no lado direito da equação anterior é uma função unicamente de z; em particular, pois, por hipótese, N 0 = 0. A função distribuição condicional no lado esquerdo de (7) é dessa forma independente do valor particular de k, e temos finalmente que para todo k=1,2,3,... Como este resultado é independente do valor do índice k, segue-se que se o processo de contagem é estacionário, então os vários intervalos entre chegadas terão todos a mesma função distribuição de probabilidade.