Estudo de Vigas Contínuas: MÉTODO DE CROSS UNIVERSIDADE PAULISTA – CAMPUS BRASÍLIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: TEORIA DAS ESTRUTURAS PROFESSORA: NÍVEA ALBUQUERQUE

Estudo de Vigas Contínuas Hipóteses Preliminares Quando as cargas são todas verticais e não há deformações axiais, as reações das vigas contínuas são todas verticais. n Reações = n Apoios GH = (n-2) Redundantes nulo Sistema Estrutural Hiperestático Equações da Estática não suficientes Deve-se criar uma nova equação SOLUÇÃO: Criar relações entre o carregamento e a deformação. Método das Forças Método das Deformações Excesso de reações

Eliminação do Apoio Central Quanto maior o número de incógnitas, mais complexas se tornam essas equações  solução do sistema exige o uso de cálculo matricial. Viga hiperestática: Nº incógnitas > Nº Eq. Estática (Fv=0 e M=0) A terceira equação é montada a partir do seguinte modelo: Supõe-se a eliminação do apoio central; Calcula-se a deformação que a viga, agora isostática (estrutura primária: eliminação das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia; Supõe-se a aplicação de uma força de baixo para cima que anulasse a deformação no ponto em que ocorre o apoio na viga real; Determinada a força, define-se a reação que ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reações, que podem ser determinadas pelas equações da estática.

Método de Cross Introdução (Método da Distribuição dos Momentos) Introdução Processo iterativo para solução de estruturas hiperestáticas desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em 1932. Trata-se de um algoritmo que parte do conhecimento prévio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um só vão. É aplicável a elementos rígidos que possuem continuidade e nós indeslocáveis. Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado; Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotação, de maneira que se reproduza a situação original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor é correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento.

Método de Cross Momentos de Engastamento Perfeito Bi-Engastado: Engaste-Apoio: Em Balanço: MEP

Método de Cross E quando não há engaste? Há rotação nos apoios. Condição de Continuidade da Viga: O giro é igual, mas com sinal contrário.

Método de Cross Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, pode-se considerar os apoios internos das vigas contínuas como inicialmente engastados. Isso pressupõe que não há qualquer espécie de giro. Na realidade, quando a viga está em equilíbrio, o giro existe, podendo ser horário ou anti horário. MEP MEP

Método de Cross Como o momento de engastamento de um lado do apoio é normalmente diferente do outro, pois os vãos e carregamentos são normalmente diferentes, significa que o nó considerado engastado não está equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo. Para equilibrar o nó deve-se distribuir a diferença M entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais. Convenção de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+) M

“O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.” Método de Cross Princípio Importante: “O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.” Coeficiente de Rigidez A rigidez de um elemento é proporcional à quantidade de esgastamento e inversamente proporcional ao comprimento. Usa-se uma redução de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulação e um engaste 1 2 1 2

Método de Cross Fator de Distribuição Fator de Propagação O FD dos momentos de uma barras com relação ao nó é dado pela razão entre a rigidez da barra e o somatório de cada parcela dos tramos que convergem para o nó. Cada barra tem sempre dois FD. A soma desses fatores entre barras adjacentes a um nó é igual a 1. Nota: FD nos apoios extremos: Fator de Propagação O FP dos momentos de uma extremidade à outra é dado pela razão entre o momento que surge no nó oposto ao que sofreu o giro pelo momento na extremidade que sofre o giro. FD=1 FD=0

Método de Cross Procedimento de Cálculo Segue o passo-a-passo da aplicação do método, dada a viga abaixo: Tramo 1 Tramo 2

Método de Cross Procedimento de Cálculo Cálculo do coeficiente de rigidez de cada tramo: Tramo 1: Tramo 2: FDBC FDBA

Método de Cross Procedimento de Cálculo Tomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferença em cada tramo (momento desequilibrado) proporcionalmente à rigidez de cada tramo. FDBA FDBC Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o nó inicialmente engastado, de forma que alcance a posição de equilíbrio.

Método de Cross Procedimento de Cálculo Soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio. Esses valores deverão ser iguais e com sinais contrários, de tal forma que a sua soma resulte zero, condição de equilíbrio. FDBA FDBC

Método de Cross Procedimento de Cálculo De posse do momento no apoio interno, determinam-se as reações de apoio, usando as equações da estática. Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reações sem levar em conta o momento no apoio.

Método de Cross Procedimento de Cálculo O momento no apoio interno alivia as reações dos apoios extremos e sobrecarrega as do apoio interno.

Método de Cross Procedimento de Cálculo Após esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as forças cortantes nos apoios para o traçado dos diagramas.

Método de Cross

Método de Cross Procedimento de Cálculo Quando a viga contínua apresenta mais de dois tramos, a liberação dos nós é feita para um nó de cada vez, mantendo os demais perfeitamente engastados. O nó, depois de equilibrado, volta a ser imobilizado. O momento distribuído para cada lado do nó é propagado para os nós vizinhos, que permaneceram engastados.

Método de Cross Procedimento de Cálculo O momento propagado provoca alteração no valor do momento desequilibrado, sendo algebricamente somado a este. Processo de propagação:

Método de Cross Exemplo Numérico Obter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforços Cortantes da viga contínua abaixo, usando o Método de Cross:

Método de Cross Exemplo Numérico 1) Cálculo do coeficientes de rigidez de cada tramo:

Método de Cross Exemplo Numérico 2) Cálculo dos fatores de distribuição: Considera-se: E x I = 1

Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 1

Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 2

Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 3

Método de Cross Exemplo Numérico 4) Distribuição dos momentos desequilibrados: OBS Para melhorar a precisão, foram alteradas as unidades de momento de tf.m para tf.cm.

Método de Cross Exemplo Numérico 5) Transmissão dos momentos equilibrantes aos nós adjacentes:

Exemplo Numérico 6) Somatório dos momentos nos nós equilibrados: OBS As iterações continuam até que, em cada nó, a diferença entre os valores absolutos dos momentos do lado esquerdo e direito seja desprezível ( 5% de diferença)

Exemplo Numérico 7) Somatório das reações considerando vãos isostáticos independentes:

momentos nos apoios Exemplo Numérico 8) Somatório das reações considerando o efeito dos momentos negativos nos apoios centrais: reações isostáticas efeitos dos momentos das vigas contínuas

Método de Cross Exemplo Numérico 9) Traçado do DEC:

Método de Cross Exemplo Numérico 10) Traçado do DMF: