Programação Não Linear

Conteúdos do Capítulo Programação Não Linear Controle de Estoque Aplicações Solução Gráfica Resolução no Excel Controle de Estoque Modelo do Lote Econômico Problemas de Localização Caso LCL Telecom S.A.

Programação Não Linear De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma: Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato. Observação: Falta slide com o conteúdo da aula.

Programação Não Linear Aplicações Problemas de Mix de Produtos em que o “lucro” obtido por produto varia com a quantidade vendida. Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada. Seleção de Portfolio com Risco

Programação Não Linear Solução Gráfica Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica Max Z x = + 3 5 1 2 2x £ 12 3x 18 s r 4 . ³ , x2 x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Solução Viável 1

Programação Não Linear Solução Gráfica Considere o Problema e sua solução gráfica. x 2 1 3 4 6 Solução Viável (2;6) Max Z x = + 3 5 1 2 s.t. £ 4 ³ , 9 216

Programação Não Linear Solução Gráfica A solução ótima: é a mesma do problema linear. continua na fronteira do conjunto de soluções viáveis. não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis, mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo. Não existe a simplificação (enumeração) existente em Programação Linear x 2 1 3 4 6 Solução Viável (2;6)

Programação Não Linear Solução Gráfica 1 2x £ 12 2 3x x + 18 s r 4 . ³ , Max Z= 126 9 182 13 - x2 x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Solução Viável

Programação Não Linear Solução Gráfica A função objetivo é uma equação quadrática.

Programação Não Linear Solução Gráfica Max Z = x 857 126 9 182 13 1 2 - + x 2 6 4 Z = 907 Solução Viável Z = 807 2 x 1 2 4

Programação Não Linear Solução Gráfica 1 2x £ 12 2 3x x + 18 s r 4 . ³ , Max Z= 54 9 78 13 - x2 x1 (0;6) (2;6) (0;0) (4;0) (4;3) Solução Viável

Programação Não Linear Solução Gráfica A função objetivo é uma equação quadrática ( ) [ ] Z= x Z Para 54 9 78 13 18 26 81 117 3 1 2 - + æ è ç ö ø ÷ = é ë ê ù û ú Þ 198 189 36 162

Programação Não Linear Solução Gráfica x 2 2 1 13 78 9 54 198 x = Z Max - + 6 4 Solução no interior do conjunto de soluções viáveis e não mais na fronteira do conjunto 3 2 Solução Viável x 1 2 3 4

Programação Não Linear A solução ótima de um problema de programação não linear(NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer ponto do conjunto de soluções viáveis. Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todas as soluções viáveis.

Programação Não Linear Excel O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradient) para chegar à solução para um dado problema. O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global. O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.

Programação Não Linear Excel Uma maneira prática para tentar minorar o problema de máximos e mínimos locais é começar a otimização de diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente. Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado, você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter atingido um ponto global.

Programação Não Linear Controle de Estoque Um dos modelos mais simples de controle de estoque é conhecido como Modelo do Lote Econômico. Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente constante durante o ano. Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no exato instante em que este chegar a zero.

Programação Não Linear Controle de Estoque Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa. Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto. Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.

Programação Não Linear Controle de Estoque Demanda Anual =100 Lote=50, Pedidos = 2 Estoque Médio = 25 6 12 meses Demanda Anual =100 Lote=25,Pedido= 4 Estoque Médio = 12,5 3 6 9 12 meses 25 50 25 12,5

Programação Não Linear Controle de Estoque Variável de Decisão Q – Quantidade por Pedido Função Objetivo = Onde: D = Demanda Anual do Produto C = Custo Unitário do Produto S = Custo Unitário de Fazer o Pedido Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano Constante

Caso LCL Computadores A LCL Computadores deseja diminuir o seu estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo unitário da mainboard é de R$50,00, o custo anual unitário de manutenção de estoque é de R$20,00 e o custo unitário do pedido é de R$10,00, encontre o lote econômico para atender a uma demanda anual de 1000 mainboards.

Caso LCL Computadores

Caso LCL Computadores

Caso LCL Computadores

Caso LCL Computadores Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que Isso não representa um problema

Programação Não Linear Problemas de Localização Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica. Nesses problemas devemos Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte ou perdas de transmissão. O usual é se colocar um eixo cartesiano sobre um mapa e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória.

Caso LCL Telefonia Celular S.A. O Gerente de Projetos da LCL Telefonia Celular S.A., tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre. Localidade X Y Nova Iguaçu -5 10 Queimados 2 1 Duque de Caxias 5

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Y Nova Iguaçu (-5,10) Duque de Caxias (10,5) Queimados (2,1) X

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Variáveis de Decisão X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão Função-objetivo

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Restrições de Distância 10 ) ( 2 3 1 £ - + Y y X x

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Modelo no Excel =SOMA(D2:D4)

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Parametrização

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução Observação: Propor atividade de fixação e indicar leitura básica e complementar.

Problemas a serem resolvidos – Lieberman Página 586 12.1.1 a 12.1.3 Ler o capítulo 12 Montar as planilhas da seção 12.4

Problema 12.1.1 Fabricar 3 produtos. Custo de produção $25, $10 e $15 respectivamente. Preços para vender x1, x2 e x3 unidades são (35+100x1^(-1/3)), (15+40x2^(-1/4)) e (20+50x3^(-1/2)) respectivamente. Se x3 <=20 Se 9x1+3x2+5x3<=500; 5x1+4x2 <=350 e 3x1+2x3<=150? Qual a produção para lucro máximo?