V E T O R E S b a + b = c a (3) Prof. Cesário

8 – OPERAÇÕES USANDO AS COMPONENTES Sejam v1 = x1i + y1j +z1k e v2 = x2i + y2j + z2k dois vetores. Atenção: a partir deste ponto usaremos a notação negrito-itálico para indicar uma grandeza vetorial. Isto é: a notação negrito-itálico substituirá a seta em cima da letra. (i) ADIÇÃO v1 + v2 = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k Soma dos x, soma dos y, soma dos z. (ii) MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR r.v1 = (rx1)i + (ry1)j + (rz1)k Multiplica-se o escalar “r” por cada uma das coordenadas.

v1 – v2 = (x1 – x2)i + (y1 – y2)j + (z1 – z2)k. (iii) SUBTRAÇÃO v1 – v2 = (x1 – x2)i + (y1 – y2)j + (z1 – z2)k. Subtrai-se as coordenadas. (iv) PRODUTOS Existem grandezas que, apesar de serem escalares, são definidas a partir de um produto de dois vetores. Como exemplo temos a grandeza trabalho que é definida como um produto do vetor deslocamento pelo Vetor força. Outras, também definidas, como um produto de dois vetores são grandezas vetoriais. É o caso de uma força sobre uma partícula eletrizada em movimento em um campo magnético. Vejamos esses dois tipos de produto.

(x1i + y1j + z1k) . (x2i + y2j + z2k) = 9 – PRODUTO ESCALAR Dados dois vetores u e v, define-se o produto escalar de u por v, denotado u.v, como sendo o escalar: u.v = |u|.|v|.cos  Onde |u|, |v| são os módulos dos vetores u e v e  o ângulo por eles formados. Lembrete: Para indicar um vetor estamos usando as letras em negrito-itálico. Se os vetores forem indicados na forma xi + yj + zk, ao multiplicar, teremos produtos obtidos a partir dos unitários i, j, k. i.i = j.j = k.k = 1.1.cos 0º = 1.1.1 = 1 i.j = i.k = j.i = j.k = k.j= k.i = 1.1.cos 90º = 1.1.0 = 0 Assim, (x1i + y1j + z1k) . (x2i + y2j + z2k) = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

Exemplo 1: Se u = 3i + 4j – 6k e v = 5i + 5j + 2 k, u.v = 3.5 + 4.5 + (-6).2 = 23 Exemplo 2: O trabalho é definido pelo produto escalar r.F onde r é o vetor deslocamento e F é a força. Determinar o trabalho realizado pela força F = 20i + 12j – 5k (N) enquanto o corpo se desloca do ponto A = (1, 2, 0) ao ponto (5, 4, 3) (coordenadas dadas em metros). O vetor r vai do ponto (1, 2, 0) ao ponto (5, 4, 3). Isto significa 5 – 1 = 4 unidades para a direita; 4 – 2 = 2 unidades para cima; 3 – 0 = 3 unidades para fora. Portanto: r = 4i + 2j + 3k. W = r.F = (20.4) + (12.2) + (-5.3) = 89 joules

Dados os vetores u e v, define-se o produto vetorial, que é indicado por u X v ou u  v como sendo o vetor w com as seguintes características: (i) Módulo de w: |w| = |u| . |v| . sen  Onde  é o ângulo formado pelos dois vetores. (ii) Direção de w: perpendicular ao plano formado por u e v. (iii) Sentido de w: determinado pela regra da mão direita aberta (regra do tapa) Aponta com o polegar o primeiro vetor Com a mão direita aberta: Os demais dedos apontam o sentido do segundo vetor. A palma da mão indicará o produto.

 r  = AO X F APLICAÇÕES FÍSICAS DO PRODUTO VETORIAL (1) TORQUE Se você aplica a força F, a porca terá o movimento indicado pelo vetor  que é denominado torque. F r  Pode-se aplicar a força F à distância r ou a força 2F à distância r/2, para produzir o mesmo efeito. F O efeito de rotação devido a força é denominado Torque. Se P é o ponto de aplicação da força e O o centro de rotação, o torque da força F em relação ao ponto O é definido por  = AO X F

F = q.v X B Os ímãs criam um campo magnético. (2) MOVIMENTO DE CARGA ELÉTRICA EM CAMPO MAGNÉTICO F S N ímãs B Os ímãs criam um campo magnético. Q v Se uma partícula atravessa um campo magnético ela sofre a ação de uma força. A força que age sobre a partícula eletrizada tem o sentido indicado é dada por F = q.v X B

EXERCÍCIOS 1 – Dados os vetores abaixo, decomponha-os e determine o módulo e a orientação do vetor soma ou resultante: v1 = 300 m, S40ºL; v2 = 200 m, O30ºN; v3 = 200 m, L40ºS; v4 = 500 m, N60ºL. 2 - Determine a soma dos vetores indicados na figura (I). 3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) três vetores. Calcule:      ( a ) u . v          ( b ) u x w          ( c )  (u . v) . w         ( d ) u x (v . w)                ( e ) (u x v) . w    ( f ) 2u x 3w            ( g ) u . 2w  + 3u . 4v       ( h ) u x (w x v)         ( i ) (u x w) x v               ( j ) 2u . 3w                  ( k ) u . (v . w)           ( l ) u x (v . w) Observação: a notação (1, 2, 3) é equivalente a 1i + 2j + 3k.