CAVIDADES RESSONANTES ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO… CAVIDADES RESSONANTES Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre

Cavidades Ressonantes Vitaly Esquerre

Cavidades Ressonantes Em freqüências na faixa de microondas (> 300MHz), elementos localizados tais como R, L e C têm comportamento bastante diverso de seu comportamento em baixas freqüências. Isto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdas por radiação tornam-se importantes. Assim, na faixa de microondas os circuitos ressonantes RLC são substituídos pelas cavidades ressonantes.

Cavidades Resonantes As cavidades ressonantes são estruturas completamente fechadas por paredes metálicas. Elas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandes áreas para a circulação de corrente, eliminando radiação e diminuindo as perdas. A figura mostra a transformação gradual de um circuito ressonante LC numa cavidade ressonante

Cavidades Retangulares

Cavidades Retangulares Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar o método de separação das variáveis para obter os campos elétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contorno da cavidade. Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do guia, os quais já satisfazem as condições de contorno nas paredes do guia Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Ex = Ey = 0 nas paredes inicial e final em z = 0

Cavidades Retangulares Os campos elétricos transversais (Ex, Ey) dos modos TEmn e TMmn, do guia de ondas retangular podem ser escritos como: Variação transversal do campo Amplitude dos campos em +z e -z A constante de propagação mn dos modos m,n (TE ou TM) pode ser escrita como:

Cavidades Retangulares Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0 Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfície condutora Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = d

Frequência de Ressonância O número de onda ressonante da cavidade será Modos TEmnl ou TMmnl são os modos ressonantes onde m, n, e l indicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nas direções x, y, e z. A frequência de ressonância do modo TEmnl ou TMmnl é dado por

Os campos para o modos TEmnl são dados por: Modo dominante (d > a > b)  TE101

Após algumas simplificações, os modos TE10l tem as seguintes expressões para os campos: O que claramente demonstra que são formadas ondas estacionárias dentro da cavidade

Fator de Qualidade Fator de Qualidade: Q Energia média armazenada nos campos magnéticos e eletricos. Potência dissipada no condutor e no dielétrico Na frequência de ressonância: We = Wm

Energia armazenada no campo elétrico

Energia armazenada no campo magnético

Energia armazenada no campo magnético Ou seja: We = Wm

Perda nas paredes condutoras Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dada por: e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes metálicas. A contribuição devido à parede superior é igual á contribuição da parede inferior, o mesmo acontece com as contribuições da parede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posterior.

Usando: Parede esquerda e direita Parede do fundo e da frente Parede superior e inferior Usando:

Fator de Qualidade Qc Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores: Qc

Fator de Qualidade Qd Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e no dielétrico: Qtotal

Dr. Sandra Cruz-Pol Exemplo Considere uma cavidade oca com dimensões; 3cm x 2cm x 7cm feita de cobre (c=5.8 x 107) Calcular a frequência de ressonância e o fator de qualidade do modo dominante. Electromagnetics, waveguides

Solução

Dr. Sandra Cruz-Pol Exemplo Considere uma cavidade preenchida com polyestireno (εr = 2.56, tan δ = 0,0004) com dimensões; a = 3cm b = 2cm feita de cobre (c=5.8 x 107) determine o valor de d para apresentar uma frequência de ressonância de 3,4 GHz. Determine o fator de qualidade do modo dominante. Electromagnetics, waveguides

Solução

Cavidades Cilíndricas

Cavidades Cilíndricas Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar o método de separação das variáveis para obter os campos elétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contorno da cavidade. Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do guia circular, os quais já satisfazem as condições de contorno nas paredes do guia Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Eρ = Eϕ = 0 nas paredes inicial e final em z = 0 e d

Cavidades Cilíndricas Os campos elétricos transversais (Eρ, Eϕ) dos modos TEnm e TMnm, do guia de ondas circular pode ser escrito como: Variação transversal do campo Amplitude dos campos em +z e -z A constante de propagação nm dos modos TEnm e TMnm, respectivamente, pode ser escrita como:

Cavidades Cilíndricas Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0 Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfície condutora Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = d

Modos TEnml ou TMnml são os modos ressonantes onde m, n, e l indicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nas direções ρ, ϕ, e z. A frequência de ressonância do modo TEnml é dada por A frequência de ressonância do modo ou TMnml é dado por

Modo dominante O modo dominante TE é o modo TE111, cuja freqüência de ressonância é dada por: O modo dominante TM é o modo TM010 cuja freqüência de ressonância é dada por: As freqüências de ressonância são iguais se d/a = 2,03 (modos degenerados) Quando d/a < 2,03, o modo dominante é o TM010 e quando d/a > 2,03 o modo dominante é o modo TE111

Os campos para o modos TEnml são dados por: Modo dominante  TE111

Cavidades Cilíndricas Distribuição do campo para modos ressonantes com l = 1 e l = 2 O que claramente demonstra que são formadas ondas estacionárias dentro da cavidade

Fator de Qualidade Fator de Qualidade: Q Energia média armazenada nos campos magnéticos e eletricos. Potência dissipada no condutor e no dielétrico Na frequência de ressonância: We = Wm

Fator de Qualidade Fator de Qualidade dos Modos TEnml Cálculo da energia armazenada, como We = Wm

Perdas nas paredes condutoras Perdas nas paredes condutoras: Pc Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dada por: e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes metálicas. A contribuição devido à parede superior é igual á contribuição da parede inferior.

Parede lateral Parede superior e inferior

Fator de Qualidade Qc Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores: Qc

Fator de Qualidade Qd Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd

Fator de Qualidade Qd Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e no dielétrico: Qtotal

Fator de Qualidade Fator de Qualidade dos Modos TM010 Ë importante quando d / a < 2,03

Outras Geometrias

Exemplo Uma cavidade ressonante circular (cilíndrica ) com d = 2a deve ressonar em 5,0 GHz no modo TE011. Se a cavidade é feita de cobre e é preenchida com teflon ( er = 2,08 e tan  = 0,0004 ), encontre suas dimensões e fator de qualidade.

Exemplo

Exemplo Uma cavidade circular preenchida com um dielétrico tem a resposta em freqüência apresentada na figura. Determine a, d e o material condutor com que foi fabricada se está operando no modo dominante

4,9988 5,0012

QCRS/ph 0,23 1,3333

Questão 2 (3,5 pontos) Uma cavidade cúbica preenchida com um dielétrico comporta-se como um filtro passa-faixa e tem a resposta em freqüência apresentada na figura. Determine a e o material condutor com que foi fabricada se está operando no modo dominante. Dados:

9,9984 10,0016

ClearAll["Global`*"]; m=1; n=0; l=1; u0=4*Pi*10^-7; e0=8.85*10^-12; c=3 10^8; f=10 10^9;Print["fres = ",f] df=10.0016 10^9-9.9984 10^9;Print["df = ",df] Qt=f/df;Print["Qt = ",Qt] er=2; eta=Sqrt[u0/(e0*er)];Print["eta = ",eta] a=c Sqrt[2] / (2 Sqrt[er] f) // N;Print["a = ",a] b=a;Print["b = ",b] d=a;Print["d = ",d] w=2*Pi*f; k=w*Sqrt[u0*e0*er];Print["k = ",k] cond=0.00022; ei=cond / w; tand=ei/(er e0);Print["tan d=",tand] Qd=1/tand;Print["Qd = ",Qd] Qc=(1/Qt-1/Qd)^-1;Print["Qc = ",Qc] Rs=a^3 eta k^3 / (12 Pi^2 Qc);Print["Rs = ",Rs] sc=w u0 / (2 Rs^2);Print["cond = ",sc]

fres = 10000000000 df = 3.2*10^6 Qt = 3125. eta = 266.452 a = 0.015 b = 0.015 d = 0.015 k = 296.327 tan d=0.00019782 Qd = 5055.11 Qc = 8184.63 Rs = 0.0241394 cond = 6.77496*10^7

Calcule e compare os fatores de qualidade dos modos dominantes de uma cavidade ressonante retangular com d=3a=3b cuja freqüência de ressonância é 5,0 GHz e uma cavidade ressonante cilíndrica inscrita na cavidade retangular. As cavidades são feitas de cobre e estão preenchidas com teflon (er = 2,08 e tan d = 0,0004). Calcule e compare os fatores de qualidade dos modos dominantes de uma cavidade ressonante retangular com d=2a=2b cuja freqüência de ressonância é 3,0 GHz e uma cavidade ressonante cilíndrica inscrita na cavidade retangular. As cavidades são feitas de cobre e estão preenchidas com teflon (er = 2,56 e tan d = 0,0004). Uma cavidade retangular com ar no seu interior tem dimensões: a = 4 cm, b = 2 cm, d = 5 cm. Determinar a freqüência de ressonância e fator de qualidade dos modos TE101 e TE102. Uma cavidade ressonante retangular com ar no seu interior tem as freqüências de ressonância dos primeiros três modos ressonantes sendo 5,2 GHz, 6,5 GHz e 7,2 GHz. Determine as dimensões da cavidade. Compare os fatores de qualidade dos modos dominantes de cavidades ressonantes cubicas e cilíndricas com o mesmo volume, considere as cavidades tendo as mesmas áreas de base e as mesmas alturas. Calcule e compare os fatores de qualidade dos modos degenerados numa cavidade ressonante cilíndrica feita de cobre e preenchida com teflon (er = 2,56 e tan d = 0,0004) com freqüência de ressonância de 5 GHz.

a) Projete a estrutura casadora de impedâncias Questão 2 (5 pontos) O guia apresentado na Figura 2 opera no modo dominante devido à forma de excitação do mesmo, todos os dielétricos apresentam tan d = 0,0004, o condutor utilizado em todos os guias é o cobre, o raio é 2,54 cm e a frequência de operação é 20% superior do que a maior das frequências de corte dos guias para garantir a propagação. a) Projete a estrutura casadora de impedâncias b) Determine as perdas em dB, devido ao dielétrico e ao condutor, da estrutura casadora de impedâncias projetada, Comente os resultados obtidos. c) Utilize as equações e gráficos necessários para explicar detalhadamente os mecanismos de excitação dos modos nos guias retangulares. 2,0 1,0