ESTRUTURAS ALGÉBRICAS OPERAÇÕES Seja um conjunto C. Define-se em C a operação  como sendo o processo que associa ao par (a, b) de C um elemento “c” de C, podendo ou não ser igual a “a” ou a “b”. Indica-se a  b = c “a” e “b” são os operandos e “c” é o resultado. Deve-se notar que o elemento “c” é único. Pode-se usar qualquer símbolo para indicar uma operação. Entretanto, algumas operações já têm os sinais convencionados. Por exemplo: + é usado para a operação adição X ou . são usados para a multiplicação ab é usado para a potenciação.

PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES A operação : (a) é comutativa se e somente se  a, b  A,  a  b = b  a. (b) é associativa se e somente se  a, b, c  A,  (a  b)  c = (a  b)  c. (c) admite elemento neutro ,  que indicaremos por n, se e somente se, para todo  x  A, x  n = n  x = x. - elemento neutro à esquerda:  a  A,  n  A, tal que n  a = a. - elemento neutro à direita:  a  A,  n  A, tal que a  n = a. Se existir o elemento neutro à esquerda e à direita ele será único. (d) admite elementos inversíveis x se, para o elemento x de A, existir um elemento x’ , também de A, tal que x  x’ = x’  x = n, onde n é o elemento neutro da operação Ä. O elemento “x” pode ser inversível somente à direita ou somente à esquerda.

DISTRIBUTIVIDADE Sejam a, b, c elementos do conjunto A no qual são definidas as operações  e . Se a  ( b  c) = (a  b)  ( a  c) então  é distributiva à esquerda em relação à operação . Se (a  b)  c = (a  c)  ( b  c) então  é distributiva à direita em relação à operação . Ocorrendo os dois casos,  é distributiva em relação à operação . A multiplicação é distributiva em relação à adição. a.(b + c) = a.b + a.c A potenciação é distributiva em relação à multiplicação, porém não é distributiva em relação à adição. (a.b)c = ac.bc (a + b)c  ac + bc

EXERCÍCIOS 1 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f} e C = {c, d, g, h}. Calcule: (a) A  (B  C) (b) (A  B)  (A  C) (c) A  (B  C) (d) (A  B)  (A  C) (e) Comparando os itens (a) e (b) que conclusão se pode tirar? (f) Comparando os itens (c) e (d) que conclusão se pode tirar? (g) Que conclusão se tirar com relação aos itens (e) e (f)? (h) Fato semelhante acontece com a multiplicação e a adição? Explique. 2 – Escreva três matrizes quadrada de ordem 2. Verifique se a multiplicação é distributiva à esquerda e à direita, em relação à adição. 3 – Considere as permutações P1(1, 2, 3, 4) = (3, 2, 1, 4); P2(1, 2, 3, 4) = (4, 3, 1, 2) e P3(1, 2, 3, 4) = (1, 4, 2, 3). Calcule (a) P1o(P2oP3) (b) (P1oP2)oP3. A associatividade foi verificada ou não? Explique.

4 - Para cada uma das operações abaixo informe quais são operações internas no conjunto indicado: (a) a * b = |ab|1/2 em Q. (b) a * b = a/b em Z. (c) (a, b)*(c, d) = (a + c, cb + d) em R2. (d) a * b = raiz da equação x2 – a2b2 = 0 em R. (e) a * b = a log b no conjunto R*+ (reais positivos). (f) a * b = a + b em N. (g) a * b = a – b em {x  Z | x > 0} (h) a * b = (a + b)2 em Z. 5 - Para as operações indicadas a seguir em R2 verifique se as mesmas São: I – comutativa, II – associativa, III – possui elemento neutro, IV – admite inverso (a) (a, b) * (c, d) = (ac, bd) (b) (a, b) * (c, d) = (a + c, cb + d)

6 - Considere o conjunto dos reais e a operação *, definida por a * b = (a2 + b2)1/2. (a) Informe se tal operação é ou não associativa e/ou comutativa. (b) Verifique se a operação * tem ou não elemento neutro. Se afirmativo, qual é ele? (c) Verifique se a operação * admite ou não elemento inverso. Se afirmativo, qual é o elemento inverso de x? (d) Se apenas alguns elementos de R apresentam inverso, quais seriam esses elementos?