Prof. Gerson Pastre de Oliveira Lógica Matemática Prof. Gerson Pastre de Oliveira

Programa da Disciplina Proposições e conectivos lógicos; Tabelas-verdade; Tautologias, contradições e contingências; Implicação lógica e equivalência lógica; Álgebra proposicional; Método dedutivo; Argumentos e regras de inferência;

Programa da Disciplina e Bibliografia Testes de validade e de não-validade; Sentenças abertas. Bibliografia: ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo : Nobel, 1999.   SUPPES, P. y HILL, S., Introducción a la lógica matemática, Ed. Revertè, 1982.

Conceito de Proposição Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo; As proposições, portanto, exprimem pensamentos, ou seja, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes; Toda forma de comunicação tem sua linguagem própria; A linguagem é a representação do pensamento humano através de um discurso adequado aos ouvintes; A lógica também tem sua linguagem, que é representada por proposições; Uma proposição pode sem simples ou composta.

Exemplos de Proposição Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul; 5 x 3 = 15; A França fica na Europa;   3,1416; Todas as proposições acima são verdadeiras. Entretanto, proposições podem ser falsas: 12 – 3 = 7; A Austrália está localizada na América do Sul; ½ é um número inteiro; A metade de 16 é 9.

Valores Lógicos das Proposições Proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer que são verdadeiras ou falsas; Para uma proposição, são dois os possíveis valores lógicos: VERDADE (V): ocorre quando a proposição é verdadeira; FALSIDADE (F): ocorre quando a proposição é falsa;

Axiomas Fundamentais Existem dois axiomas fundamentais na Lógica Matemática: Princípio da Não Contradição: “Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo”; Princípio do Terceiro Excluído: “Toda a proposição é verdadeira ou falsa, isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro”.

Axiomas Fundamentais Desta forma, podemos dizer que “toda a proposição tem um – e somente um – dos valores lógicos possíveis, V ou F”; Assim, por exemplo, considerando as proposições: O golfinho é um animal mamífero; Kingston é a capital do Egito; Pode-se afirmar que o valor lógico da primeira proposição é VERDADE (V) e o valor lógico da segunda proposição é FALSIDADE (F).

Proposições Simples As proposições simples também são conhecidas como “átomos” ou “proposições atômicas”; São aquelas que não contém nenhuma outra proposição em suas estruturas; Geralmente, utiliza-se as letras minúsculas p, q, r, s, ... para designar as proposições simples, como nos exemplos: p: Maria é professora; q: O dia está nublado; r : 36 / 6 = 6.

Proposições Compostas Também chamadas de “proposições moleculares” ou “moléculas”; São aquelas formadas pela combinação de duas ou mais proposições; Geralmente, utiliza-se as letras maiúsculas P, Q, R, S, ... para designar as proposições compostas, como nos exemplos: P: 26 é um número par e tomates são vermelhos; Q: Luísa é brasileira ou Ricardo é mexicano; R: Se a casa é verde, então o sol está brilhando; S: Não está calor se e somente se está chovendo.

Notação Utilizamos uma notação para indicar o valor lógico de uma proposição simples: V(p) = V ou V(p) = F A mesma notação pode ser utilizada para indicar o valor lógico de uma proposição composta: V(P) = V ou V(Q) = F Assim, para as proposições abaixo: p: A lua é roxa q: O Sol é maior do que a Terra Temos que V(p) = F, V(q) = V.

Operações Lógicas sobre Proposições As operações lógicas sobre proposições estão subordinadas a um conjunto de regras do cálculo proposicional, da mesma forma que as operações aritméticas possuem regras relativas aos números; Tabela-verdade: representa o domínio dos valores lógicos possíveis para determinadas proposições compostas, consideradas todas as combinações possíveis entre as proposições simples componentes; As principais operações lógicas sobre proposições são: negação, conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional;

Negação (~) A negação de uma proposição p é a proposição representada por “não p” e indicada por ~p; A negação de uma proposição qualquer possui sempre o valor lógico oposto ao da proposição a que se refere, ou seja: V(p) = V  V(~p) = F daí se conclui que ~V = F V(p) = F  V(~p) = V daí se conclui que ~F = V Tabela-verdade p ~p V F

Exemplos (Negação (~) ) p: 6 + 3 = 9 (V); ~p: 6 + 3  9 (F) q: 5 > 8 (F); ~q: 5  8 (V) r: A Costa Rica fica na Europa (F); ~r: A Costa Rica não fica na Europa (V); Existe mais de uma maneira de efetuar a negação de uma proposição em linguagem corrente. Assim a negação de s: A chuva é um fenômeno climático pode ser: ~s: A chuva não é um fenômeno climático; ~s: Não é verdade que a chuva é um fenômeno climático; ~s: É falso que a chuva seja um fenômeno climático; Observações: t: Toda a mulher é bonita; ~t: Nem toda mulher é bonita; u: Nenhum jogador é bom; ~u: Algum jogador é bom;