Barão de Cocais, 26 de Fevereiro de 2016 – Pólo: Barão de Cocais Universidade Federal de Ouro Preto – CEAD EAD 515 – Prática de Ensino II: Utilização de Tecnologias da Informação e Comunicação na Educação Matemática Barão de Cocais, 26 de Fevereiro de 2016 – Pólo: Barão de Cocais Aluno: Leonardo Antonio Leite Aula de Sequências e Progressões – 1º Ano do Ensino Médio Progressões Aritmética e Geométrica – Lei de Formação, Termo Geral e Soma dos termos de uma progressão https://leonardoleiteblog.wordpress.com/ Ao final desta aula o aluno deverá compreender os conceitos de Progressão Aritmética e Geométrica, calcular um termo qualquer de uma progressão, bem como calcular a soma dos termos de uma progressão Minimanual compacto de matemática : teoria e prática : ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo : Rideel, 2003. (Capítulo 7 – Pag. 144 a 157)

SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES O estudo de seqüências lógicas despertou o interesse de vários pesquisadores. Leonardo Fibonnaci (1170-1250), entretanto, foi o primeiro a propor os primeiros problemas sobre seqüências, por meio da observação de fenômenos naturais. Seu problema mais famoso é: “Um casal de coelhos torna-se produtivo após 2 meses de vida; a partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais serão ao final de um ano?” Ao final do ano, teremos 376 casais. A maneira mais simples de demonstração é utilizando a célebre seqüência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Lei de formação Existem diversas seqüências na natureza (a ordem das cores do arco-íris, por exemplo), mas as que nos interessarão serão apenas as numéricas. De modo geral, temos: Seqüências finitas (a1, a2, a3, ..., an), n ∈ N*, como os números naturais ímpares menores que 20 (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) ou os múltiplos positivos de 4 menores que 24 (0, 4, 8, 12, 16, 20); e seqüências infinitas (a1, a2, a3, ..., an, ...), n ∈ N, como os números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...), os números inteiros (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...) ou os números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, ...). (N = Conjunto dos números naturais)

a1 : primeiro termo da sequência; a2 : segundo termo da sequência; Utilizamos uma letra com índice numérico para localizar um elemento da seqüência. Por exemplo: a1 : primeiro termo da sequência; a2 : segundo termo da sequência; a3 : terceiro termo da sequência; . an : enésimo termo da sequência. n representa a ordem do termo na sequência, se estivermos nos referindo ao quinto termo, an seria equivalente ao termo a5. Chamamos de enésimo termo, um termo qualquer da sequência, é uma forma de generalizar o termo a ser calculado.

Observe a seqüência de números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...). É possível determinar o próximo elemento somando 2 ao último termo; dizemos então que existe uma lei de formação (fórmula) dada por an = 2n + 1. Na sequência de números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, ...) não é possível determinar uma lei de formação. Deste modo, acaso quisermos descobrir qual é o quinto termo da sequencia, faremos n = 5 na fórmula e então teremos: a5 = 2(5) + 1, assim a5 = 10 + 1 e a5 = 11. Observando a sequência temos a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 11 e daí por diante.

Progressões Aritméticas (P.A.) Observe a seguinte sequência: A: (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 ...) Em A, para se obter um elemento, basta somar 3 ao anterior. Toda sequência em que, a partir de um termo conhecido, soma-se uma constante para obter o seguinte é chamada de progressão aritmética ou P.A. A constante que é somada a cada elemento é chamada de razão da P.A. e simbolizada pela letra r. Genericamente, temos: (a1, a2, a3, ..., an-1, an, ...) é P.A. an = an-1 + r, n ≥ 2, r = an - an-1

Classificação da P. A. Uma P. A Classificação da P.A. Uma P.A. de razão r pode ser: • crescente → se a razão for um número positivo. (2, 4, 6, 8, 10, ...) é P.A. crescente em que r = 2 • decrescente → se a razão for um número negativo. (9, 6, 3, 0, 3) é P.A. decrescente em que r = -3 • constante → se a razão for zero. (1, 1, 1, 1, 1, ...) é P.A. constante

Fórmula do termo geral da P.A. Sabemos que é possível obter um termo de uma P.A. (a1, a2, a3, ..., an-1, an, ...) de razão r somando a razão ao termo anterior. Mas há uma maneira de, conhecendo-se o primeiro termo (a1) e a razão r, determinar qualquer termo da P.A. Isso pode ser feito pela utilização da fórmula: an = a1 + (n-1).r A importância da fórmula de um termo qualquer de uma P.A. é que podemos calcular um termo da sequência sem precisarmos saber os valores dos demais termos.

Soma dos termos de uma P. A Soma dos termos de uma P.A. finita Certo dia, um professor muito exigente manda seus alunos, que em média tinham 10 anos, somarem todos os números naturais de 1 a 100. Para o espanto de todos, o pequeno Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que se tornou um dos matemáticos mais importantes da história, apresenta rapidamente a solução. A soma proposta pelo professor foi: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 93 + 94 + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Gauss observou que a soma dos termos equidistantes dos extremos era constante, ou seja: a1 + a100 = 1 + 100 = 101 a2 + a99 = 2 + 99 = 101 a3 + a98 = 3 + 98 = 101 a4 + a97 = 4 + 97 = 101 . . a50 + a51 = 50 + 51 = 101 Tendo a sequência cem termos, então existem 50 somas iguais, portanto: S = 50 . 101 = 5.050

O pequeno Gauss, intuitivamente, utilizou a fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita: A soma dos n termos de uma P.A. é igual ao produto da média aritmética dos extremos pelo número de termos da P.A. Esse raciocínio expresso em linguagem matemática fica assim: Segundo o que observou Gauss, podemos extrair a seguinte propriedade: A soma de termos equidistantes dos extremos de uma P.A. é igual à soma dos extremos.

Progressões Geométricas (P.G.) Dizemos que uma seqüência é progressão geométrica ou P.G. se cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante. Essa constante é chamada de razão da P.G. e simbolizada pela letra q. Exemplos: (2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) é P.G. em que a razão é 2, (q = 2), pois: 2 . 2 = 4; 4 . 2 = 8; 8 . 2 = 16 ... e assim sucessivamente. Portanto, determinamos a razão da P.G. dividindo um termo por seu antecessor. Assim: (a1, a2, a3, ..., an-1, an, ...) é P.G. ⇔ an = (an-1) . q, n ≥ 2

Desta maneira, podemos deduzir que, se (a1, a2, a3) é uma P. G Desta maneira, podemos deduzir que, se (a1, a2, a3) é uma P.G., a2 é igual à razão geométrica dos outros dois elementos, ou, em linguagem matemática: Exemplos: Se (4, 16, 64) é P.G., então Se (25, 125, 625) é P.G., então  

Classificação da P. G. Dizemos que uma P. G Classificação da P.G. Dizemos que uma P.G. é: • crescente → se cada termo é maior que seu antecessor; neste caso, q > 1. (2, 4, 8, 16, 32, ...) ⇒ q = 2 • decrescente → se cada termo é menor que seu antecessor; neste caso, 0 < q < 1. • alternante → se cada termo tem sinal contrário ao antecessor; neste caso q < 0. ( -5, 10, -20, 40, -80) ⇒ q = -2

Fórmula do termo geral de uma P.G. Soma dos termos de uma P.G. finita Conhecendo o primeiro termo, a1, e a razão, q, de uma P.G., podemos determinar qualquer termo utilizando a fórmula: Soma dos termos de uma P.G. finita Sendo a P.G. (a1, a2, a3, ..., an-1, an) de razão q, a fórmula para calcular a soma de todos os seus termos é dada por: