Análise do Lugar das Raízes UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva Análise do Lugar das Raízes

Análise do Lugar das Raízes A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada, depende essencialmente da localização dos pólos de malha fechada. É importante, então, que o projetista saiba como os pólos de malha fechada se movem no plano s, a medida que o ganho de malha varia. Limitações e dificuldades da análise dos pólos através da solução da equação característica: Equações características de grau superior a 3, são muito trabalhosas requerendo o uso de métodos computacionais pra a solução. É uma análise estática, pois, se o ganho variar, os cálculos deverão ser refeitos. O método do Lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores do ganho k.

Análise do Lugar das Raízes O gráfico do Lugar geométrico das raízes, consiste no desenho de todos os valores que os pólos de malha fechada de uma função de transferência assumirão num plano de coordenadas complexas (portanto traçaremos o gráfico sobre um plano complexo) quando variarmos o ganho k. Considere o sistema abaixo:

Análise do Lugar das Raízes Diagrama dos pólos

Análise do Lugar das Raízes Propriedades Importantes Considere o seguinte sistema básico como exemplo: Condições de ângulo e módulo onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ... A equação (1) estabelece que se um valor de ‘s’ for substituído na função obtém-se um número complexo, se o ângulo desse número complexo for múltiplo impar de 180o, então este valor de ‘s’ será um pólo do sistema para um valor particular de k. Mostrar que cada caso do 1o exemplo conduz para . Condição de Módulo Condição de ângulo

Análise do Lugar das Raízes Propriedades Importantes Por exemplo se for dado por: Os ângulos dos vetores no plano complexo se originam nos pólos e zeros e vão até um ponto ‘s’ medidos no sentido anti-horário. Portanto o ângulo de será: e o Módulo de será:

Análise do Lugar das Raízes Propriedades Importantes 2. Definição de ramo: Ramo é o caminho percorrido pelo pólo quando variamos o ganho k. (observar na figura do quadro os dois ramos criados pela variação do valor de k). O número de Ramos será sempre igual ao número de pólos do sistema.

Análise do Lugar das Raízes Propriedades Importantes 3. Análise dos pólos e zeros no infinito de uma função de transferência. Toda função de ‘s’ possuirá um número igual de pólos e de zeros, se for levado em conta os pólos e zeros infinitos. Por exemplo, a Função de Transferência tem 3 pólos finitos e nenhum zero finito, mas se analisarmos o comportamento desta função no infinito veremos que: Se a função tender ao infinito, quando ‘s’ tender ao infinito, então a função terá um ou mais pólos no infinito. Se a função tender a zero quando ‘s’ tender ao infinito, então a função terá um ou mais zeros no infinito. No caso acima, Fazendo ‘s’ tender ao infinito, a função se tornará Cada ‘s’ do denominador faz com que a função se torne nula quando ‘s’ tende ao infinito, portanto esta função possui 3 zeros no infinito, como era de se esperar.

Análise do Lugar das Raízes Propriedades Importantes 4. Simetria “O lugar geométrico das Raízes é simétrico em relação ao eixo real.”

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Vamos estipular 7 passos para traçarmos completamente o gráfico que representa o Lugar geométrico das raízes de uma dada equação característica. Passo 1: Determinar o número de ramos. “O número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de pólos de malha fechada.”

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Passo 2: Determinar os segmentos sobre o eixo real. Neste caso utiliza-se a propriedade de ângulo. Como regra geral, assuma que: “No eixo real, o lugar geométrico das raízes existe à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou raízes finitos sobre o eixo real.”

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Passo 3: Determinar os pontos de partida e de término. “O lugar geométrico das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s).”

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Passo 4: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito. “O Lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar das raízes tende ao infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de interseção sobre o eixo real e o ângulo da seguinte forma: onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Nota-se que ainda ficam faltando alguns detalhes no gráfico: Qual o ponto e o ângulo de partida no eixo real? Se fosse o caso, qual o ponto e o ângulo de chegada no eixo real? Se houvesse pólos e zeros complexos, quais seriam os ângulos de Partida (no caso de pólos) e os ângulos de chegada (no caso de zeros)? Qual o valor no eixo imaginário que o lugar das raízes toca?

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Passo 5: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real. O ponto onde o lugar das raízes deixa o eixo real é chamado de ponto de partida. O ponto onde o lugar das raízes retorna ao eixo real é chamado de ponto de chegada “Nesses pontos os ramos do lugar das raízes formam um ângulo de 180o/n com o eixo real, onde n é o número de pólos de malha fechada chegando ou saindo de um ponto de chegada ou de partida no eixo real.”

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Exemplo: Nesse caso os ângulos de partida e chegada, serão de 90º. Os pontos de partida e de chegada são encontrados resolvendo-se a equação: Os valores de após analisados serão os pontos de partida e/ou chegada no eixo real.

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Façamos um exemplo para o caso da figura acima: O sistema tem 2 pólos, -1 e -2. E possui 2 zeros, 3 e 5. substituindo fica:

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Passo 6: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos. Para encontrarmos o ângulo de partida de um pólo complexo, primeiramente pegamos um ponto de teste, bem próximo do pólo que desejamos encontrar o ângulo de partida. Depois sabemos que pela condição de ângulo, a soma dos ângulos formados pelos zeros, menos a soma dos ângulos formados pelos pólos do sistema em estudo deve ser igual a (2k+1)180o.

Análise do Lugar das Raízes Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Passo 7: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários Para se determinar o ponto de interseção no eixo imaginário pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte forma: escreve-se a matriz de Routh normalmente. Encontra-se o valor do Ganho K, fazendo a linha s1 igual a zero. Os pontos de cruzamento com o eixo imaginário é então determinado com a resolução da equação auxiliar obtida a partir da linha s2 . Fazer um exemplo no Quadro.

Análise do Lugar das Raízes Configurações Típicas de pólos e zeros e o lugar das raízes correspondentes

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação Para cada lugar das raízes mostrado na figura abaixo, diga se o esboço pode ou não caracterizar o lugar geométrico das raízes. Caso o esboço não possa representar o lugar geométrico das raízes, explique o porquê. Forneça todas as justificativas.

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação Esboce (sem detalhamento) a forma geral do lugar geométrico das raízes para cada diagrama de pólos e zeros em malha aberta mostrado nas figuras abaixo:

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação Esboce o Lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação unitária mostrado abaixo, cheque o ângulo de partida dos pólos complexos.

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação Para o diagrama de pólos e zeros em malha aberta mostrado na figura abaixo, esboce o lugar geométrico das raízes e determine o ponto de chegada.

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação Esboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e determine os pontos de entrada e saída.

Análise do Lugar das Raízes Recordando.... Os 7 passos para desenharmos perfeitamente o gráfico do lugar das raízes são: 1o Passo: Determinar o número de ramos 2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real 3o Passo: Determinar os pontos de partida e de término 4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito 5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real 6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos 7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação 1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos. 2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real jω x j1 σ - 3 - 2 - 1 1 x - j1

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação 3o Passo: Determinar os pontos de chegada. Quem são os pólos e os zeros? jω x j1 σ - 3 - 2 - 1 1 x - j1

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação 3o Passo: Determinar os pontos de chegada. Usando esses valores, temos: Donde se tira que:

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação 3o Passo: Determinar os pontos de chegada. 4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito Não tem pólos no infinito 5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real jω x j1 σ - 3 -2,3 - 2 - 1 1 x - j1

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação 6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos jω θx x j1 1 ϕ2 ϕ1 σ 4 3 - 3 -2,3 - 2 - 1 1 ≈90o x - j1

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação Com jω 122,46o x j1 σ - 3 -2,3 - 2 - 1 1 Por Simetria 122,46o x - j1

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação 7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários Com os pólos e os zeros pode-se terminar a FT. adicionando o ganho e resolvendo a FT de Malha fechada, encontramos a seguinte equação característica: Aplicando Routh, temos:

Análise do Lugar das Raízes Voltando ao gráfico... Com jω j1,91 122,46o x j1 σ - 3 -2,3 - 2 - 1 1 x - j1 -j1,91

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação Esboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e determine os pontos de entrada e saída. j1 - j1 - 3 - 4 - 5 -2 jω σ - 6 - 1 x x

Análise do Lugar das Raízes 1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos. 2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real 3o Passo: Determinar os pontos de chegada. Quem são os pólos e os zeros? Usando esses valores, temos: j1 - j1 - 3 - 4 - 5 -2 jω σ - 6 - 1 x x -5,4 -1,56 Donde se tira que:

Análise do Lugar das Raízes 4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito Não tem pólos no infinito 5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real 6o e 7o Passos: Não se aplicam j1 - j1 - 3 - 4 - 5 -2 jω σ - 6 - 1 x x -5,4 -1,56

Análise do Lugar das Raízes Exercício de Fixação Dado o sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência do canal direto. Faça o seguinte: Esboce o lugar geométrico das raízes. Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K nesse ponto. Determine o ponto de entrada. Determine o ângulo de partida dos pólos complexos.

Análise do Lugar das Raízes Solução: Esboce o lugar geométrico das raízes. Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos. 1o Passo: Determinar o número de ramos 2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real 3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito

Análise do Lugar das Raízes Solução: Esboce o lugar geométrico das raízes. Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos. 1o Passo: Determinar o número de ramos 2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real 3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito Função de Transferência Quantidade de Pólos Quantidade de Ramos

Análise do Lugar das Raízes Solução: Esboce o lugar geométrico das raízes. Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos. 1o Passo: Determinar o número de ramos 2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real 3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito jω Pólos Zeros x j3 j2 j1 σ -2 - 1 +1 +2 - j1 - j2 x - j3

Análise do Lugar das Raízes Solução: Esboce o lugar geométrico das raízes. Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos. 1o Passo: Determinar o número de ramos 2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real 3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito jω Sabemos que temos um zero no infinito, temos que saber agora para que lado ele se encontra: x j3 j2 j1 σ -2 - 1 +1 +2 - j1 - j2 x - j3

Análise do Lugar das Raízes Solução: Esboce o lugar geométrico das raízes. Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos. 1o Passo: Determinar o número de ramos 2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real 3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito jω x j3 j2 j1 σ -2 - 1 +1 +2 - j1 - j2 x - j3

Análise do Lugar das Raízes Solução: b. Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K nesse ponto. Para encontrar esse ponto, basta usarmos Routh na FT de Malha Fechada. Função de Transferência Malha Aberta Função de Transferência Malha Fechada com realimentação unitária j4,5 jω x j3 j2 j1 σ -2 - 1 +1 +2 - j1 - j2 x - j3

Análise do Lugar das Raízes Solução: c. Determine o ponto de entrada. Para determinar o ponto de entrada, basta usar a fórmula já conhecida. jω j4,5 x j3 ? j2 j1 σ - 6,58 -2 - 1 +1 +2 - j1 - j2 x - j3 -j4,5

Análise do Lugar das Raízes Solução: d. Determine o ângulo de partida dos pólos complexos. Fazer no quadro.