Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 3.a Aula: Aplicação Equações de Estado e Saída

Exercicío sobre equacoes de estado: 1) No circuito abaixo, as variáveis de entrada são a corrente do gerador (u1= j(t) ) e a tensão no gerador de tensão (u2 = e(t) ). As variáveis de saída são as tensões y1 na Resistência R1 e y2 no capacitor C. Determine as matrizes A, B, C e D.

Solução: 1) Equações do circuito: 2) Eliminando i1 e i2 nas equações:     1) Equações do circuito: (1) 2) Eliminando i1 e i2 nas equações: (2) (3) (4)

Solução:     3) Equação de saída:

4) Equação de estado : 5) Matrizes A e B

4) Equação de saída: 5) Matrizes C e D

Exercícío sôbre equações de estado: 2) Dado o circuito RLC. Determine a equação de estado e as matrizes A, B. Dados: (1) (2)

Solução: Substituindo na equação 2 os valores dados: . (1) (2) (3) (4)

Solução: Escolhendo as variáveis de estado: Entao: . (5) (6) (7) (8) (9)

Solução: Substituindo a eq. 7 na eq. 4 tem-se: . 1.a. equação de estado:

Solução: 2.a.A equação de estado: . Matrizes A e B: Equacao escalar de estado:

Exercício da Lista: Determine a equação de saída do circuito e as matrizes C e D. .

Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos A representação de sistemas de controle no domínio do tempo constitui uma das bases da teoria de controle moderno e da otimização de sistemas. Um sistema de equações diferenciais descreve o comportamento do sistema em termos da taxa de variação de cada uma das variáveis de estado.

Equação Diferencial de Estado O Estado de um sistema é descrito por meio de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem em termos das variáveis de estados.

Equação Diferencial de Estado Equação de Estado e de Saída Linearizados:

Circuito RLC

Circuito RLC Variáveis de Estado

Circuito RLC Substituindo-se as variáveis de estado nas equações do circuito, tem-se:

Equação Diferencial de Estado

Equação Diferencial de Estado Transformada de Laplace da equação de estado A Transformada de Laplace Inversa resulta na solução da equação de estado:

Forma Padrão de Representação do Modelo de Variáveis de estado de um Sistema

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB Um sistema dinâmico que consiste num número finito de elementos concentrados pode ser escrito por equações diferenciais ordinárias em que o tempo é a variável independente. Fazendo uso de notação matricial-vetorial, uma equação diferencial de ordem n pode ser representada por uma equação matricial-vetorial de primeira ordem. Se n elementos do vector são um conjunto de variáveis de estado, então a equação diferencial matricial vetorial é denominada de equação de estado.

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB Deste modo, um sistema representado na forma de equações de estado será dado por:

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB Considerando o sistema representado no espaço de estado, a sua introdução no MATLAB efetua-se pelo método comum de introdução de matrizes na Janela de Comando:

Conversão da representação de sistemas para função de transferência no MATLAB É possível converter a representação de sistemas em equações de estados ou a partir dos polos, zeros e ganho, através do uso das seguintes funções: ss2tf - Conversão de representação em espaço de estados para função de transferência. zp2tf - Representação em função de transferência a partir dos Pólos, Zeros e Ganho do sistema.

Considere o seguinte sistema dado na forma de equações de estado: Prompt do MATLAB: A função de transferência será:

No caso do sistema estar descrito pelos seus Pólos, Zeros e Ganho, a conversão para a representação em função de transferência será dada por: Prompt do MATLAB: A função de transferência será:

Conversão da representação de sistemas para espaço de estados no MATLAB Tal como no item anterior, é possível converter a representação de sistemas em função de transferência ou a partir dos polos, zeros e ganho para a representação em espaço de estados, através do uso das seguintes funções: tf2ss - Conversão da função de transferência para a representação em modelo de espaço de estados. . Zp2ss - Representação do modelo de espaço de estados a partir dos Polos, Zeros e Ganho do sistema. .

Considere a função de transferência do seguinte sistema : A sua representacao em espaco de estado será:

Se fossem dados os Pólos, Zeros e Ganho do sistema, a conversão para a representação em espaço de estados seguiria a mesma metodologia apresentada para o caso da função de transferência, tendo em consideração que se pretende obter as matrizes A, B, C, D e não o numerador e denominador.

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB Dado qualquer sistema representado no espaço de estados ou descrito por uma função de transferência, é possível extrair os seus os Polos, Zeros e o Ganho através do uso das seguintes funções: tf2zp - Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do sistema a partir da função de transferência. ss2zp - Obtenção dos Pólos, Zeros e Ganho do sistema a partir da sua representação em espaço de estados.

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB Os Pólos, Zeros e o Ganho dos sistemas anteriores representados no espaço de estados e em forma de função de transferência são dados por :

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB NOTA : Em todos os tipos de conversões apenas é necessário ter em consideração que a função de transferência é dada por um numerador e denominador, enquanto a representação em espaço de estado pelas matrizes A, B, C, D. A representação do sistema pode ainda ser expressa pelos seus Pólos (p), Zeros (z) e Ganho (k).