TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA Transformada de Fourier de sinais discretos não periódicos Transformada e série de Fourier de sinais discretos periódicos Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais discretos Função resposta de frequência e resposta impulsional Amostragem de sinais

SLIT Motivação Espectro de frequência

Definição Exponencial direita Série geométrica:

Espectro de frequência da exponencial real

Transformada de Fourier Discreta é sempre periódica em com período Demonstração Exponenciais complexas discretas com frequências separadas de um múltiplo de representam a mesma exponencial

Definição

Convergência da Transformada de Fourier Discreta Condição suficiente para a existência de transformada de Fourier: é absolutamente somável, i.e., ou é de energia finita, i.e., Vários sinais não periódicos, como o escalão unitário, e os sinais periódicos, não satisfazem estas condições.

Sinais periódicos Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é periódica de período e que para é ?

Sinais periódicos Ex. 1

Sinais periódicos Ex. 2

Sinais periódicos Série de Fourier do sinal periódico TF Combinação linear de exponenciais complexas de frequências TF é periódico com período fundamental e, portanto, com frequência fundamental Coeficientes da série de Fourier:

Série de Fourier Ex. 1 Mas pelo que periódico com período

Série de Fourier Ex. 2 …

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P1. Linearidade Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P2. Translação no Tempo Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P3. Translação na Frequência Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P4. Inversão Temporal Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P5. Convolução Convolução circular: Ex. periódico com período … Propriedade da convolução

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P6. Diferenciação na Frequência P7. Soma no Tempo P8. Simetria Se é uma função real, então TF: SF:

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P9. Modulação Ex.

Exemplo Tabela: … Linearidade + Translação no Tempo Para é

Resposta Impulsional Resposta em Frequência … Filtro passa-baixo Baixa Frequência: Alta Frequência: … Filtro passa-alto

Resposta em Frequência SLITs em série SLITs em paralelo Realimentação

Equação às Diferenças Resposta em Frequência SLIT Linearidade Translação no tempo

Amostragem de sinais x(t) xd(n)=x(nT) t n -8 1 2 3 -1 -2 -3 -7 -6 -5 1 2 3 -1 -2 -3 xd(n)=x(nT) -7 -6 -5 -4 5 4 T 2T 3T -T -2T -3T 4T -8T -6T -5T -4T 5T -7T

Amostragem de sinais modelo matemático t x(t) p(t) t T 2T 4T 5T -T 3T p(t) t T 2T 4T 5T -T 3T -2T 1 t xp(t) -2T -T T 2T 3T 4T 5T

Relação entre os espectros de e Tabela - frequência de amostragem

Relação entre os espectros de e … …

Teorema da Amostragem Seja um sinal contínuo de banda limitada tal que então é univocamente determinado pelas suas amostras sse a frequência de amostragem - ritmo de Nyquist

Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto

Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto Mudança de escala: … …

Amostragem e Reconstrução … T fórmula de interpolação

Amostragem de uma sinusoide …

Amostragem de uma sinusoide …