A MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA Prof. Ilydio Pereira de Sá

Você sabe responder às questões seguintes? 1) Uma conceituada loja, numa promoção, oferece as seguintes opções de compra: a) à vista, com 30% de desconto sobre o preço de tabela; com um acréscimo de 20% sobre o preço de tabela. b) em dois pagamentos “iguais” (entrada mais outro para 30 dias). Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que a loja está cobrando na segunda opção oferecida? 2) Uma loja oferece uma mercadoria à vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

3) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5 3) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2  0,30103 e log 3  0,47712 4) Calcule quanto uma pessoa deve depositar semestralmente numa conta a prazo fixo, que paga juros de 12% ao semestre, para acumular R$ 50 000,00, daqui a 10 anos, considerando-se que o depósito inicial somente ocorrerá no final do primeiro semestre. 5) Um eletrodoméstico pode ser comprado por R$ 1.500 à vista ou com entrada de R$ 450 e mais 4 pagamentos mensais de R$ 296,11. Qual a taxa de juros implícita no financiamento proposto? Será que esses tipos de questões costumam, normalmente, ser trabalhadas nas séries da Educação Básica? Será que nossa formação contempla tais discussões? Quais os motivos?

Casos comentados solução FATOR DE AUMENTO = 1,325 OS DOIS PRINCIPAIS “SEGREDOS” DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Casos comentados 1) O senhor Enkren Kado, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preços de todos os produtos de um setor em 32,5 %. Qual o fator de aumento? Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00? solução FATOR DE AUMENTO = 1,325 NOVO PREÇO = 1,325 x 60,00 = 79,50 2) Ritinha, em Setembro, obteve uma correção salarial de 35%, sobre o salário de Agosto, passando a receber R$ 337,50. Quanto recebia em Agosto? solução A x 1,35 = 337,50 A = 337,50 :1,35 = 250,00. Logo, em agosto, Ritinha recebia R$ 250,00

F = 47 : 3440 = 1,3824 (Fator de correção) 3) Um remédio estava custando R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00. Qual o fator e qual o percentual de aumento? solução 34,00 x F = 47,00 F = 47 : 3440 = 1,3824 (Fator de correção) 1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento Percentual) 4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o remédio custasse R$ 47,00 e sofresse uma redução de preço para R$ 34,00. Qual seria o fator de redução e o percentual de redução correspondente ? solução 47 x F = 34 F = 34 : 47 = 0,7234 (Fator de Redução) 0,7234 x 100 = 72,34 % (Valor Final) 100 % - 72,34 % = 27,66 % (Redução Percentual)

5) Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 30%, ou então com pagamento normal, sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quanto estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento? solução Vamos supor que a mercadoria estivesse tabelada em 100 reais. Com o desconto de 30%, o preço à vista será de 70 reais. 70 100 30 F = 100 / 70  1,4286 Logo, a taxa de juros cobrada, em um mês, foi de 42,86% Observe que o preço à vista é de 70 reais e não de 100 reais. É sobre tal valor que se faz o cálculo dos juros.

6) O que aconteceria no problema anterior, se a opção pelo pagamento do preço de tabela, fosse subdividida em duas parcelas iguais, uma no ato da compra e outra a 30 dias da compra? solução 70 50 20 Saldo devedor 30 F = 50 /20 = 2,5 Logo, a taxa de juros cobrada foi de 150% em um mês.

Primeiro “Segredo” – Fatores de Correção F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%) F = (100 - k ):100 (Fator de Redução de k%) Exemplo: Seja uma taxa de 3,5% Taxa percentual = 3,5%  taxa unitária = 0,035 fator de aumento 1,035 fator de redução = 0,965

Logo, o aumento total acumulado foi de 40,49% AUMENTOS E REDUÇÕES SUCESSIVOS 7) Qual o aumento total, acumulado, gerado por 3 aumentos sucessivos de 12%? solução +12% +12% +12% P P x 1,12 (P x 1,12) x 1,12 ((P x 1,12) x 1,12) x 1,12 = P x 1,123 P x 1,123 = P x 1,4049 Logo, o aumento total acumulado foi de 40,49% Aumentos ou reduções sucessivos – Multiplica-se os respectivos fatores de correção

8) Certa classe trabalhadora conquistou, no mês de julho de 2005 (em dissídio coletivo), um reajuste salarial de 15%, sobre os salários de janeiro de 2005, descontadas as possíveis antecipações. Ocorre que eles receberam, em junho de 2005 uma antecipação de 8%, sobre os salários de janeiro. Qual o valor do reajuste complementar, devido a tal classe trabalhadora, sobre os salários de junho de 2005? solução Verifique que se trata de um caso de aumentos sucessivos. O segundo aumento (a determinar), sobre o primeiro (antecipação de 8%), terão de dar um total acumulado de 15%. +8% +X% JAN. 05 JUN. 05 = 15% 1,08 x F = 1,15, LOGO, O FATOR DESCONHECIDO SERÁ: F = 1,15 : 1,08  1,065 Conclusão: Deverão receber um reajuste complementar de 6,5%, aproximadamente.

IMPORTANTE: Assim como aumentos sucessivos eram calculados pelo produto dos fatores de correção, as subtrações geradas por taxas sucessivas devem ser calculadas através da divisão dos respectivos fatores de correção. 9) Uma mercadoria aumentou 12% num mesmo período em que a inflação correspondente foi de 5%. Qual a taxa de AUMENTO REAL dessa mercadoria? Essa é uma questão análoga à anterior. Quando há inflação, o aumento sofrido por algum preço é constituído por duas parcelas: a correção da inflação e o aumento real (quando há). 5% inflação +X% (aumento real) = 12% (Taxa nominal) Logo, F = 1,12 : 1,05  1,067 A taxa de aumento real da mercadoria, foi de 6,7%

10) Trabalhando com a Notícia na sala de aula ... Jornal do Brasil – 30 de abril de 2004 FATOR DE AUMENTO = 260 / 240  1,0833 TAXA DE AUMENTO = 0,0833 x 100 = 8,33 % Ou (1,0833 – 1) x 100 Taxa real de aumento ... F = 1,0833: 1,0702  1,012 (fator de aumento) A taxa de ganho real do salário mínimo, foi de 1,2% e a notícia estava correta.

O Segundo Segredo... “O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO”

PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS), TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM ATRAVÉS DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. NUMA DATA FUTURA, O DINHEIRO FICA MULTIPLICADO POR F n E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR F n. x F n A B 11) Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2005. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2005, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia teve de pagar? solução Como Lídia está propondo uma antecipação do pagamento, de 1 mês, teremos de DIVIDIR 80 por 1,05 (fator de correção). Logo, 80 : 1,05 = 76,19 reais.

12) Certa pessoa aceitou um empréstimo garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas: R$ 10 000, prazo de 1 mês; R$ 20 000, prazo de 3 meses; R$ 40 000, prazo de 6 meses. No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o primeiro título, entrou em acordo com o credor para efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o pagamento global a ser feito na referida data?

solução W 0 1 2 3 4 5 6 10 000 20 000 40 000 10 000 20 000 40 000 0 1 2 3 4 5 6

13) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5% 13) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento? solução 1 2 3 5000 2500 x Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos). 2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)3 2625 + x = 5788,13 x = 3163,13

14) Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja? 1 2 400 220 Sugerimos “empurrar” todos os valores para a data 2 e igualar as entradas (valor à vista) com as saídas (pagamentos mensais). 400 . F2 = 220 . F + 220 40 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0 Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40 Logo, F = 1 + i  1,067 ou i  0,067 ou ainda i  6,7%

solução 15) Cálculo do tempo... Aplicando logaritmos. Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês, para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈ 0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021 solução 580 x (1,05) n = 900 (1,05) n = 1,55 ou então n . log (1,05) = log (1,55) n = log (1,55) / log (1,05) n = 0,1903 / 0,021 n  9 meses

16) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5 16) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2  0,30103 e log 3  0,47712 i = 8 % a.a. 12.000 5.000 n

Prof. Ilydio Pereira de Sá ilydio@gmail.com Livro: Matemática Financeira na Educação Básica Vendas no site: www.sotese.com.br