Logaritmos

História A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi. Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculos numéricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação. A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como

História A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como 2,382,5 . √12,4 3 5,13,8 O valor dessa expressão equivale ao valor de 102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1

História Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.

História Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.

TRABALHANDO COM POTÊNCIAS DE BASE 10

A base 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = 100 0,1 = 10–1 10 = 101 0,01 = 10–2 100 = 102 0,001 = 10–3 1 000 = 103 0,0001 = 10–4 10 000 = 104 0,00001 = 10–5

A base 10 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: 2 = 100,301 3 = 100,477 7 = 100,845 11 = 101,041 13 = 101,114

Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10. 4 = 22 = (100,301)2 = 100,602 10 10 5 = = = 101 – 0,301 = 100,699 2 100,301 6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477 = 100,778

Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10. 60 = 2.3.10 = 100,301 . 100,477 . 10 ⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1 ⇒ 60 = 101,778

Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva a equação exponencial 2x = 12. 2x = 12 ⇒ 2x = 22.3 ⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 101,079 ⇒ 0,301.x = 1,079 1,079 ⇒ x = ⇒ x ≈ 3,585 0,301

Logaritmo como expoente

Logaritmo como expoente O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log2 8 = 3

Logaritmo como expoente Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.

DEFINIÇÃO Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x). loga b = x ⇔ ax = b a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo; x é o logaritmo;

Exemplos log2 32 = 5, porque 25 = 32 log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81 De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

Exemplos Calcular log4 8. log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23 ⇒ 22x = 23

Exemplos Calcular log1/3 √9. 5 x 1 log1/3 √9 = x 5 ⇒ √9 = 5 3

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: loga b = x ⇔ b > 0 a > 0 a ≠ 1

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos. log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível

OBSERVAÇÃO Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.

Exemplos Resolver a equação logx (2x + 8) = 2. ⇒ ⇒ 2x + 8 > 0 1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 2x + 8 > 0 x > –4 x > 0 ⇒ ⇒ x > 0 x > 0 x ≠ 1 x ≠ 1 x ≠ 1 2o. Usando a definição de logaritmo. logx (2x + 8) = 2 ⇒ x2 = 2x + 8 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ x = –2 ou x = 4. ⇒ S = {4}

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. loga 1 = 0 porque a0 = 1 loga a = 1 porque a1 = a loga ak = k porque ak = ak

Exemplos log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: loga k a = k

Exemplos 5 = 3 2 = 21.2 = 2.6 = 12 9 = (32) = = 52 = 25 15 = = = 5 3 log5 3 5 = 3 1 + log2 6 log2 6 2 = 21.2 = 2.6 = 12 log3 5 log3 5 log3 5 2 9 = (32) = = 52 = 25 3 1 – log15 3 151 15 15 = = = 5 log15 3 3 15

Sistema de logaritmos

Sistema de logaritmos log x → logaritmo decimal de x (base 10) Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x. log x → logaritmo decimal de x (base 10)

Exemplos log 1000 = log10 1000 = 3 log 0,01 = log10 10–2 = –2

Sistema de logaritmos Ln x → logaritmo natural de x (base e) O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2,71828. O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x → logaritmo natural de x (base e)

Exemplos Ln e = loge e = 1 Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3 Ln e3 = loge e3 = 3

OBSERVAÇÃO Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b. cologb a = – logb a colog2 8 = – log2 8 = –3 colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2

Logaritmos decimais

Logaritmos decimais O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631). Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.

Tábua de logaritmos decimais ou 101,114 = 13 n log n 1 11 1,041 21 1,322 31 1,491 2 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,505 3 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,519 4 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,531 5 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,544 6 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,556 7 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,568 8 0,903 18 1,255 28 1,447 ... 9 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996 10 20 1,301 30 1,477 100 log 35 = 1,544 ou 101,544 = 35

Exemplos Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log 10 000 c) log 1013 d) log 10–30 e) log 0,000001

Exemplos Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 – log 5 b) 100,903 + 101,505 – 1000,69 c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e 1000y = 15

Exemplos Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557. b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e 13y = 103,342.

Mudança de base

Fórmula de mudança de base De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. logk a Logb a = logk b

Exemplos Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301. 5x = 20 ⇒ x = log5 20 log10 20 log 20 1,301 log5 20 = = = = 1,861 log10 5 log 5 0,699

Exemplos Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3. log 3 0,48 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 3 0,48 log2 3 = = = 1,6 log 2 0,30 Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.

Exemplos Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log2 7 . Log7 13 . Log13 2 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 1 1 log 7 log 13 log 2 . . = 1 log 2 log 7 log 13 1 1 1

CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE Compare os valores dos log5 25 e log25 5. Compare, também, os valores log2 8 e log8 2. Que conclusão se pode tirar dessas comparações? Se logx y = 3/5, calcule logy x. log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2 log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3 logb a = 1/loga b logy x = 5/3

Generalizando Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: loga a logb a = loga b 1 logb a = loga b

Propriedades dos logaritmos

Propriedades dos logaritmos O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples. Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar: multiplicações em adições; divisões em subtrações; potenciações em multiplicações; radiciações em divisões.

Logaritmo do produto Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845. log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7 log 21 = x ⇒ 10x = 21 ⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845 ⇒ 10x = 100,477 + 0,845 ⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322

Logaritmo do produto De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga (x.y) = loga x + loga y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.

Exemplos log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13 A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000. log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13 log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000 log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301

Exemplos Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 5 + log 50. log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50) log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3

Logaritmo do quociente Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2 log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log (3/2) = log 3 – log 2 log (3/2) = x ⇒ 10x = 3/2 3 100,477 ⇒ 10x = = = 100,477 – 0,301 2 100,301 ⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176

Logaritmo do quociente De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. x Loga = loga x – loga y y

Exemplos A partir de log 2 = 0,301 obter log 5. 10 log 5 = log = 1 – 0,301 2 ⇒ log 5 = 0,699

LOGARITMO DA POTÊNCIA Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0,477. log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4 ⇒ x = 4 . 0,477 ⇒ x = 1,908 log 34 = 4 . log 3

LOGARITMO DA POTÊNCIA Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base. Loga xk = k . loga x

Exemplos A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009. 9 log 0,009 = log = log 9 – log 100 100 = log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2 = 2 . 0,477 – 2 = 0,954 – 2 = – 1,046

Exemplos Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em função de a e b. log 72 log 23.32 log2 72 = = log 2 log 2 log 23 + log 32 3.log 2 + 2.log 3 = = log 2 log 2 3a + 2b = a