Funções Elementares

Definição - Função Exponencial Seja a um número positivo deferente de 1. A função é a função exponencial de base a, sendo a uma constante. O Dm(f) =R e a Im(f) = (0,+).

Definição-Crescimento e Decrescimento Exponenciais A função é um modelo para crescimento exponencial quando k> 0 e para descaimento exponencial quando k<0. Gráficos de (a) crescimento exponencial, k = 1.5 > 0 e (b) decaimento exponencial, k = –1.2 < 0.

Figura: y = 2x, y = 3x, y = 10x.

Regras de Exponenciação Se a>0 e b>0, as afirmações a seguir são verdadeiras para quaisquer x e y reais.

Definição – Função Logaritmo de Base a A função logarítmica na base a, é a função inversa da função exponencial de base a. O domínio de é (0,+), a imagem de A imagem de é, o domínio de

O gráfico de 2x e sua função inversa, log2 x.

Propriedade dos Logaritmos Inversas para e Base a: Base e:

Propriedade dos Logaritmos Para qualquer número real x > 0 e y>0, Regra do Produto: Regra do quociente: Regra da Potencia:

Cada função exponencial é a potencia da função exponencial natural. Formula para mudança de base, sendo a,b,c>0 e a,c1.

Função Trigonométrica e Suas Inversas – unidade radiano Semi-reta inicial x P(x,y) y r Semi-reta final  Um ângulo  na posição-padrão

Um ângulo - na posição-padrão y Semi-reta final P(x,y) r y Semi-reta inicial x  - -y x r P(x,-y) Um ângulo - na posição-padrão

Quando r=1

Formulas para conversão 1 grau = /180 ~0.02 radianos 1 radiano = 180/  ~ 57 graus Tabela 17 - Valores de sen, con, tg para alguns valores do ângulo  (Grau) Radians -180 - -135 -3/4 -90 -/4 -45 -/6 30 /6 45 /4 60 /3 90 135 3/4 180  Sen -1 1 cos tg -

Período das funções Trigonométricas Período : tg(x + ) = tgx cotg(x + ) = cotgx Período 2: sen(x + 2) = sen x cos(x + 2) = cos x sec(x + 2) = sec x cossec (x + 2) = cossec x

Figura 39: Gráfico das funções (a) cosseno, (b) seno, (c) tangente, (d) secante, (e) cossecante e (f) cotangente utilizando a medida em radianos.

Identidade cos2 + sen2 =1 Dividindo essa identidade por cos2 e depois por sen2 temos: 1 + tg2= sec2 1 + cotg2 = cosec2

Formula para soma dos ângulos e ângulos duplos cos(+)= cos() cos()- sen() sen() sen(+)= sen() cos() +cos() sen() cos 2 = cos2 - sen2 sen2 = 2 sen cos Lei dos cossenos c2= a2 + b2 – 2ab cos  A(b,0) b B(a cos ,a sen  a c a cos  x y C

Lei dos cossenos c2= a2 + b2 – 2ab cos c2= (acos ( -) +b)2 + (a sen ( -))2 c2= a2cos2 ( -) +b2 + 2abcos ( -)+ a2 sen2 ( -) cos ( -) = -cos  sen ( -) = sen  cos2 + sen2  = 1 Logo c2= a2cos2  +b2 + a2 sen2  - 2abcos c2= a2(cos2 + sen2 ) +b2 - 2abcos c2= a2 +b2 - 2abcos B(a cos (-),a sen(-) y c a a sen ( -)  ( -) * x a cos( -) A(b,0) C b = 1 Triangulo Retângulo

Inversos da função Trigonométrica Seja ,Dm(f) = [-1,1], Im(f)=[0, ]. Determinar x sendo que f(x) = /3.

Figura : Gráficos de (a) y = arc cos x, (b) y = arc sen x, (c) y = arc tg x, (d) y = arc sec x, (e) y = arc cosec x e (f) y = arc cotg x.