Contábil Instituição de Ensino Gestão Financeira e Contábil Instituição de Ensino Prof. Luiz Ernesto Both

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DESCONTO SIMPLES DATA DA DATA DO DATA DO EMISSÃO DESCONTO n VENCIMENTO | | | A N i  D  d Racional Comercial REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

EXEMPLO 01 DESCONTO SIMPLES

Uma nota promissória no valor de R$ 2.500,00 vencível em 120 dias, será descontada à taxa de desconto simples de 2,5 % ao mês. Determine o valor do desconto e o valor recebido pela nota promissória na data do desconto.

Uma nota promissória no valor de R$ 2.500,00 vencível em 120 dias, será descontada à taxa de desconto simples de 2,5 % ao mês. Determine o valor do desconto e o valor recebido pela nota promissória na data do desconto. D = 2.500,00 x 0,025 x (120/30) D = 250,00 A = 2.500,00 - 250,00 A = 2.250,00

EXEMPLO 02 DESCONTO SIMPLES

Um título no valor de R$ 1.850,00, foi descontado 94 dias antes do seu vencimento à taxa de juros simples de 3,2 % ao mês. Determine o valor líquido recebido e o valor do desconto aplicado.

vencimento à taxa de juros simples de 3,2 % ao mês. Um título no valor de R$ 1.850,00, foi descontado 94 dias antes do seu vencimento à taxa de juros simples de 3,2 % ao mês. Determine o valor líquido recebido e o valor do desconto aplicado. A = 1.850,00 { 1 + 0,032 ( 94/30)} A = 1.635,97 D = 1.850,00 - 1.635,97 D = 164,03

DESCONTO COMERCIAL PRAZO – MÉDIO (HP-12C) A 10.000,00 20 dias B 8.000,00 25 dias C 19.000,00 35 dias HP-12C: 20 ENTER 10.000 Σ+ 25 ENTER 8.000 Σ+ 35 ENTER 19.000 Σ+ g 6  28,78 dias  prazo médio

DESCONTO COMERCIAL TAXA – MÉDIA (HP-12C) A 10.000,00 6% a.m. 20 dias B 8.000,00 8% a.m. 25 dias C 19.000,00 4% a.m. 35 dias HP-12C: 6 ENTER 10.000 ENTER 20 x Σ+ 8 ENTER 8.000 ENTER 25 x Σ+ 4 ENTER 19.000 ENTER 35 x Σ+ g 6  5,1267 %  taxa média

TAXAS EQUIVALENTES EQUIVALÊNCIA entre as taxas i e d i = d = A N Racional n Comercial i  D  d d i i = d = 1 – d n 1 + i n

EXEMPLO TAXAS EQUIVALENTES (i e d)

Um título no valor de R$ 1.350,00 sofreu um desconto, 45 dias antes do seu vencimento, calculado com uma taxa de desconto simples de 3 % ao mês. Determine o valor da taxa de juros simples equivalente.

Um título no valor de R$ 1.350,00 sofreu um desconto, 45 dias antes do seu vencimento, calculado com uma taxa de desconto simples de 3 % ao mês. Determine o valor da taxa de juros simples equivalente. i = 0,03 1 - 0,03 ( 45 / 30 ) i = 0,0314  3,14 % ao mês

Um título no valor de R$ 2.730,00 sofreu um desconto, 28 dias antes do seu vencimento, calculado com uma taxa de juros simples de 2,5 % ao mês. Determine o valor da taxa de desconto simples equivalente.

Um título no valor de R$ 2.730,00 sofreu um desconto, 28 dias antes do seu vencimento, calculado com uma taxa de juros simples de 2,5 % ao mês. Determine o valor da taxa de desconto simples equivalente. d = 0,025 1 + 0,025 ( 28 / 30 ) d = 0,0244  2,44 % ao mês

JUROS COMPOSTOS JUROS SOBRE JUROS

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (EXPONENCIAL) Os juros incidem sobre um novo capital Ao fim de cada período financeiro, os juros são somados ao capital imediatamente anterior, formando um novo capital => montante

PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO É o período de tempo após o qual os juros são acrescidos ao capital. 12 % aa/a => ANUAL 8 % a sem/sem => SEMESTRAL 3,25 % am/m => MENSAL

JUROS COMPOSTOS Cn = C (1+ i)n Onde: Cn  FV = Capital final, montante FV = PV (1+ i)n Onde: Cn  FV = Capital final, montante C  PV = Capital primitivo, inicial i  taxa de juros compostos n  prazo (mesma unidade da taxa de juros)

(1 + i)n = fator de capitalização JUROS COMPOSTOS (1 + i)n = fator de capitalização FV = PV (1+ i)n

JC – FATOR DE CAPITALIZAÇÃO PV FV FV = PV (1 + i ) n FV = 100,00 ( 1 + 0,05)6 = 134,00

JUROS COMPOSTOS MONTANTE - FV (exemplo) A importância de R$ 2.500,00 foi aplicada a juros compostos à taxa de 8% am/m, determine o montante avaliando-o no prazo de 15 meses.

JUROS COMPOSTOS (1 + i)n = fator de capitalização FV = PV (1+ i)n FV = 2.500 (1+0,08)15 (1 + i)n = fator de capitalização (1 + 0,08)15 = 3,172169 FV = 7.930,42

JUROS COMPOSTOS MONTANTE - FV (HP-12C) f FIN VISOR 2.500,00  CHS  PV (-) 2.500,00 8  i 8 15  n 15 FV 7.930,42

(1 + i) - n = fator de descapitalização JUROS COMPOSTOS (1 + i) - n = fator de descapitalização PV = FV (1+ i)- n

JC – FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO PV FV FV = PV (1 + i )-n FV = 100,00 ( 1 + 0,05)-6 = 74,62

JUROS COMPOSTOS CAPITAL - PV (exemplo) Uma certa importância, aplicada a taxa de juros compostos de 4% at/t, produziu um montante de R$ 3.300,00 no prazo de 12 trimestres. Determine o valor aplicado.

(1+i)-n = fator de descapitalização (1 + 0,04)-12 = 0,624597 JUROS COMPOSTOS PV = FV (1+ i)-n PV = 3.300 (1+0,04)-12 (1+i)-n = fator de descapitalização (1 + 0,04)-12 = 0,624597 PV = 2.061,17

JUROS COMPOSTOS CAPITAL - PV (HP-12C) f FIN VISOR 3.300,00  CHS  FV (-) 3.300,00 4  i 4 12  n 12 PV 2.061,17

JUROS COMPOSTOS FV / PV = (1 + i)n Log (FV / PV) = n Log (1 + i) n =

JUROS COMPOSTOS PRAZO - n (exemplo) Um capital no valor de R$ 650,00, aplicado à taxa de juros compostos de 6% ao bimestre com capitalização mensal, produziu um montante de R$ 1.500,00. Determine o prazo da aplicação.

JUROS COMPOSTOS FV = PV (1+ i)n 1.500,00 / 650,00 = (1 + 0,03)n Log (2,3076) = n Log (1 + 0,03) 0,836208 n = = 28,28 0,029558 (28 meses e 8 dias)

JUROS COMPOSTOS PRAZO - n (HP-12C) f FIN VISOR 650,00  CHS  PV (-) 650,00 1.500,00  FV 1.500,00 3  i 3 n 29

JUROS COMPOSTOS PRAZO - n (HP-12C) f FIN VISOR 1.600,00  CHS  PV (-) 1.600,00 4.566,94  FV 4.566,94 6  i 6 n 18

TAXAS DE JUROS

TAXA EFETIVA É aquela que representa o ganho real da operação; Na taxa efetiva o período da taxa de juros coincide com o período da capitalização. Exemplos: > 3 % ao mês com cap. mensal > 45 % ao ano com cap. anual

TAXA NOMINAL É aquela que não representa o ganho real da operação; É apenas uma taxa referencial e sempre se refere a um período de capitalização diferente do período da taxa de juros. Exemplos: > 15 % ao trimestre com cap. mensal > 36 % ao ano com cap. quadrimestral

TAXAS EQUIVALENTES (conceito) Duas ou mais taxas efetivas, capitalizadas em períodos diferentes, são equivalentes quando aplicadas sobre o mesmo capital, num mesmo prazo, produzirem o mesmo montante.

TAXAS EQUIVALENTES EQUIVALÊNCIA: taxas efetivas (1+ia) = (1+is)2 = (1+iq)3 = (1+it)4 = (1+ib)6 = (1+im)12 = (1+id)360 EXEMPLO: T R I M E S T R A L PV FV Q U A D R I M E S T R A L

TAXAS EQUIVALENTES (exemplo) Determine o valor da taxa trimestral capitalizada trimestralmente, que equivale à taxa de 6 % ao mês com capitalização mensal.

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS (1+ it)4 = (1+ 0,06)12 (1+ it) = (1+ 0,06)3 (1+ it)t = (1+ im)m (1+ it)4 = (1+ 0,06)12 (1+ it) = (1+ 0,06)3 (1+ it) = 1,191016 it = 19,10%at/t

TAXAS EQUIVALENTES (exemplo) Determine o valor da taxa quadrimestral, capitalizada bimestralmente, que equivale à taxa de 18 % ao semestre com capitalização semestral.

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS (1+ ib)6 = (1+ 0,18)2 (1+ ib) = (1,18)1/3 (1+ ib)b = (1+ is)s (1+ ib)6 = (1+ 0,18)2 (1+ ib) = (1,18)1/3 (1+ ib) = 1,056721 ib = 5,672 % ab/b iq/b = 11,344 % aq/b

SÉRIES DE PAGAMENTOS

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos RENDAS (séries de pagamentos)

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos Rendas: - Certas - Aleatórias

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos Rendas: Certas: -Temporárias -Perpétuas Aleatórias: - Temporárias - Vitalícias

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos Rendas: Temporárias / Perpétuas Imediatas Diferidas

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos Rendas: Imediatas / Diferidas Postecipadas Antecipadas

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos Rendas Certas São aquelas cuja duração e pagamentos são pré-determinados, não dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazo de duração, taxa de juros etc, são estáveis.

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos Rendas Certas POSTECIPADAS (END)

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR FUTURO g END FV 0 1 2 3 4 5 6 PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR FUTURO g END FV 0 1 2 3 4 5 6 PMT ( 1 + i ) n - 1 FV = PMT i

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE g END PV 0 1 2 3 4 5 6 PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE PV g END 0 1 2 3 4 5 6 PMT ( 1 + i ) n - 1 PV = PMT i * ( 1 + i ) n

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos Rendas Certas ANTECIPADAS (BEGIN)

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR FUTURO g BEGIN FV 0 1 2 3 4 5 6 PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR FUTURO g BEGIN FV 0 1 2 3 4 5 6 PMT ( 1 + i ) n - 1 FV = PMT ( 1 + i ) i

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR FUTURO g BEGIN FV 0 1 2 3 4 5 6 PMT ( 1 + i ) n+1 – ( 1 + i) FV = PMT i

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE g BEGIN PV 0 1 2 3 4 5 6 PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE PV g BEGIN 0 1 2 3 4 5 6 PMT ( 1 + i ) n - 1 PV = PMT ( 1 + i ) i * ( 1 + i ) n

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE PV g BEGIN 0 1 2 3 4 5 6 PMT ( 1 + i ) n - 1 PV = PMT i * ( 1 + i ) n - 1

SÉRIES DE PAGAMENTOS RESUMO

SÉRIES DE PAGAMENTOS g END x g BEGIN PV FV PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS g END x g BEGIN PV FV PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS g END x g BEGIN PV PV FV FV PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS EXEMPLO 01

SÉRIES DE PAGAMENTO Um poupador deseja investir mensalmente R$ 500,00, durante 15 meses, num fundo que remunera juros de 2 % ao mês com capitalização mensal. Qual o valor disponível na data do último depósito?

SÉRIES DE PAGAMENTOS Resolução (exemplo 01) ( 1 + 0,025 ) 15 - 1 FV = 500,00 0,025 FV = 500,00 * 17,9319 FV = R$ 8.965,96

SÉRIES DE PAGAMENTOS EXEMPLO 02

SÉRIES DE PAGAMENTO Uma mercadoria é vendida, sem entrada, em 5 prestações mensais de R$ 1.000,00 cada. Determine o preço à vista, utilizando-se uma taxa de juros compostos de 3 % ao mês com capitalização mensal.

SÉRIES DE PAGAMENTOS Resolução (exemplo 02) ( 1 + 0,03 ) 5 – 1 PV = 1 SÉRIES DE PAGAMENTOS Resolução (exemplo 02) ( 1 + 0,03 ) 5 – 1 PV = 1.000,00 ( 1 + 0,03 ) 5 * 0,03 PV = 1.000,00 * 4,5797 PV = R$ 4.579,70

SÉRIES DE PAGAMENTOS EXEMPLO 03

SÉRIES DE PAGAMENTO A condição de venda de um determinado artigo é: R$ 1.000,00 de entrada e mais 4 prestações mensais de R$ 650,00 cada. Qual a taxa aplicada nesta venda, sabendo-se que poderá ser adquirida à vista por R$ 3.373,40?

SÉRIES DE PAGAMENTOS Resolução (exemplo 03) ( 1 + i ) 4 – 1 PVista = 1 SÉRIES DE PAGAMENTOS Resolução (exemplo 03) ( 1 + i ) 4 – 1 PVista = 1.000,00 + 650,00 ( 1 + i ) 4 * i 3.373,40 = 1.000,00 + 650,00 * fator i = 3,75 % ao mês / capit. mensal

SÉRIES DE PAGAMENTOS EXEMPLO 04

SÉRIES DE PAGAMENTO Qual a melhor opção de compra (a prazo) de um equipamento, se o preço à vista for de R$ 5.562,89? A) entreda de R$ 1.500,00 e mais 6 prestações de R$ 750,00; B) sem entrada, em 6 prestações de R$ 1.026,90. Resp. em termos de taxa de juros

SÉRIES DE PAGAMENTOS Resolução (exemplo 04) Preço à vista = entrada + PV (série post.) A) 5.562,89 = 1.500,00 + 750,00 * fator (a) B) 5.562,89 = 1.026,90 * fator (b) i = 3,0 % ao mês com capitalização mensal

SÉRIES DE PAGAMENTOS DIFERIDAS (carência)

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR FUTURO g END PV FV FV 0 1 2 0 1 2 3 4 PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE g END PV FV PV 0 1 2 3 4 0 1 2 PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR FUTURO g BEGIN PV FV FV 0 1 2 0 1 2 3 4 PMT

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE g END PV FV PV 0 1 2 3 4 0 1 2 PMT

SÉRIES DE PAGAMENTO Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: entrada de R$ 425,00 e mais 4 prestações mensais no valor de R$ 300,00 cada, vencendo a primeira no prazo de 120 dias. Qual o preço à vista, se a taxa for de 2 % m/m?

SÉRIES DE PAGAMENTOS Resolução (ex SÉRIES DE PAGAMENTOS Resolução (ex. com diferimento) P à vista = entrada + PV (série) * (1=i)-y A) Pvista = 450 + 300 * fator post. * (1,02) -3 ou B) Pvista = 450 + 300 * fator antec. * (1,02) -4 Resposta = R$ 1.526,43

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos Básicos SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES

MATEMÁTICA FINANCEIRA SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA (Sist. Francês ou Sist. PRICE)

MATEMÁTICA FINANCEIRA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA (Sist. Francês ou Sist. PRICE) CARACTERÍSTICAS: -prestações no fim de cada período -prestações são constantes (iguais) -juros pagos por período vencido

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA g END PV 0 1 2 3 4 5 6 PMT

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA PV g END 0 1 2 3 4 5 6 PMT ( 1 + i ) n - 1 PV = PMT i * ( 1 + i ) n

SÉRIES DE PAGAMENTOS VALOR PRESENTE PV g END 0 1 2 3 4 5 6 PMT CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES i * ( 1 + i )n PMT = PV ( 1 + i )n - 1

MATEMÁTICA FINANCEIRA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA (Sist. Francês ou Sist. PRICE) PRESTAÇÕES: - amortizar uma parcela da dívida e - pagar os juros do período vencido PMT = ap + jp  

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA PV g END 0 1 2 3 4 5 6 PMT CÁLCULO DOS JUROS PAGOS NA 1a. PRESTAÇÃO J1 = PV * i

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA PV g END 0 1 2 3 4 5 6 PMT CÁLCULO DA PRIMEIRA QUOTA DE AMORTIZAÇÃO a1 = PMT - j1

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA PV g END 0 1 2 3 4 5 6 PMT CÁLCULO DAS DIVERSAS QUOTAS DE AMORTIZAÇÕES a1 = PMT - jp

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA PV g END 0 1 2 3 4 5 6 PMT CÁLCULO DAS DIVERSAS QUOTAS DE AMORTIZAÇÕES ap = a1 (1 + i ) p - 1

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA PV g END 0 1 2 3 4 5 6 PMT CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR NUMA PRESTAÇÃO QUALQUER ( 1 + i ) n - P - 1 PVP = PMT i * ( 1 + i ) n - P

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA EXEMPLO

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA EXEMPLO DE PLANILHA

MATEMÁTICA FINANCEIRA SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

MATEMÁTICA FINANCEIRA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) CARACTERÍSTICAS: -prestações no fim de cada período -amortizações são constantes-iguais -juros pagos por período vencido -prestações são decrescentes

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE g END PV 0 1 2 3 4 5 6 PMTP

MATEMÁTICA FINANCEIRA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE PRESTAÇÕES: - amortizar uma parcela da dívida e - pagar os juros do período vencido PMTp = ap + jp  = 

MATEMÁTICA FINANCEIRA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE PRESTAÇÕES: PMTp = PV / n + jp

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE EXEMPLO

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE EXEMPLO DE PLANILHA

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO EXEMPLO TAXA PRÉ-FIXADA

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO EXEMPLO TAXA PÓS-FIXADA

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO EXEMPLO DIFERIMENTO COM PAGAMENTO JUROS

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO EXEMPLO DIFERIMENTO SEM PAGAMENTO JUROS