de um número real positivo LOGARITMO de um número real positivo

O que é um logaritmo de um número ???? 2 𝑥 =4⇔𝑥=2 2 𝑥 =8⇔𝑥=3 2 𝑥 =6⇔𝑥= ? Sabemos que existe, e que é um número entre 2 e 3, mas qual o seu valor? Resposta: 𝑥=log 2 6 (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑑𝑒 6 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 2) Definição O logaritmo de um número positivo b, numa dada base a (a>0 e a ≠1) é o expoente a que é preciso elevar a base para obter esse número. Simbolicamente: log 𝑎 𝑏 = x ⇔𝑏= 𝑎 𝑥 , b ∈ 𝐼𝑅 + 𝑒 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 + \ 1

Exercícios Manual, página 137, 14 ; página 138, 15 e página 139, 16 Os logaritmos também são úteis na resolução de equações exponenciais … Exercício, Manual, página 140, 17 e 18

UM POUCO DE HISTÓRIA …

Joost Bürgi um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos de Napier contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em matemática teórica. John Napier ( 1550 – 1617) ou John Nepper

Outros matemáticos, se envolveram com os logaritmos: Henry Briggs (1561 – 1630) William Oughtred (1575 – 1660) Johannes Keppler (1571 – 1630) LOGOS = razão ARITHOMOS = números Significado da palavra logaritmo

No início do século XVII, o escocês John Napier inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que são tabelas de multiplicação gravadas em bastão, o que evitava a memorização da tabuada, e que trouxe um grande auxílio em execução de operações aritméticas como multiplicações e divisões longas. O dispositivo foi aperfeiçoado é empregado pelos engenheiros, através da régua de cálculo.

Uma Régua de Cálculo é um aparelho mecânico analógico que permite a realização de cálculos por meio de guias graduadas deslizantes. Foi criado pelo padre inglês William Oughtred, em 1638, baseando-se na tábua de logaritmos que foi criada por John Napier, pouco antes, em 1614. Apesar da semelhança com uma régua, a régua de cálculos é um dispositivo que não tem nada a ver com medição de pequenas distâncias ou de traçar retas. A régua de cálculo é a mãe das calculadoras eletrónicas modernas (até mesmo porque os engenheiros que criaram as calculadoras electrónicas provavelmente fizeram isso usando réguas de cálculo), tendo sido largamente usada até a década de 1970 quando então a versão eletrónica foi largamente difundida e aceita em função de sua simplicidade e precisão. Quanto à precisão das réguas de cálculo, estas não fornecem valores exatos e sim aproximados que são aceitos como viáveis dentro de uma certa aplicação. Assim, um cálculo como 1345 x 3442= ? é resolvido em poucos segundos com uma régua de cálculo mas o máximo que será possível dizer do resultado é que ele está bem próximo de 4.650.000 e raramente o valor exato (4.629.490 neste caso).

Como o matemático Pierre Laplace se referiu à descoberta e aplicação dos Logaritmos. «Ao diminuírem os cálculos, os logaritmos duplicaram a vida dos astrónomos …»

Propriedades dos Logaritmos Consequências da definição

Propriedades operatórias dos Logaritmos Mudança de base

Logaritmo do inverso Sendo x um número positivo: Propriedade: Exercícios Manual, página 145, 19, 20 e 21 Manual, página 159, 39 e 40

Definição de Função Logarítmica Chama-se Função Logarítmica a uma função do tipo : NOTA: A função logarítmica é a função inversa da função exponencial e vice-versa.

Propriedades gráficas e analíticas da Função Logarítmica, com base maior que 1

Propriedades gráficas e analíticas da Função Logarítmica com base entre 0 e 1

Nota: Podemos sempre passar uma função Logarítmica com base entre 0 e 1, para uma função Logarítmica com base maior do que 1. Basta fazer:

As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO. Equações com Logaritmos Importante: Cálculo do Domínio. As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO. Por vezes, teremos que recorrer a outras técnicas de resolução de equações: -Definição de Logaritmo Lei do anulamento do produto Fórmula resolvente

As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO. Inequações com Logaritmos Importante: Cálculo do Domínio. As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO. No final, interseta-se o conjunto solução com o conjunto do DOMÍNIO. Se a > 1 Se 0 < a < 1 Por vezes, teremos que recorrer a outras técnicas de resolução de inequações: Quadros de sinais resolução de inequações do 2.º grau (recurso ao gráfico)

Exercícios Manual, página 146 e 147, 22; página 147 e 148, 23

Mais limites notáveis … Recorda que: Temos agora, ainda estes:

Exercícios Manual página 150, 24 Página 151, 25 Página 153, 26

Para calcular limites de funções do tipo Atenderemos a que: Como a função exponencial é contínua: Exercícios Manual, página 153, 27; página 154, 28 e página 155, 29