Divisibilidade

Divisibilidade por Critério 2 Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. 3 Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. 4 Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. 5 Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5. 6 Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3. 8 Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8. 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9. 10 Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Descubra o algarismo da unidade de N sabendo que N = 1 x 3 x 5 x 7 x ... x 97 x 98 x 99

Como bom observador identifique algumas regularidades....

02 = 0 102 = 100 202 = 400 302 = 900 12 = 1 112 = 121 212 = 441 312 = 961 22 = 4 122 = 144 222 = 484 322 = 1024 32 = 9 132 = 169 232 = 529 332 = 1089 42 = 16 142 = 196 242 = 576 342 = 1156 52 = 25 152 = 225 252 = 625 352 = 1225 62 = 36 162 =256 262 = 676 362 = 1296 72 = 49 172 = 289 272 = 729 372 = 1369 82 = 64 182 = 324 282 = 784 382 = 1444 92 = 81 192 = 361 292 = 841 392 = 1521

O que acontece com o algarismo da unidade de cada número quadrado perfeito?

02 = 0 102 = 100 202 = 400 302 = 900 12 = 1 112 = 121 212 = 441 312 = 961 22 = 4 122 = 144 222 = 484 322 = 1024 32 = 9 132 = 169 232 = 529 332 = 1089 42 = 16 142 = 196 242 = 576 342 = 1156 52 = 25 152 = 225 252 = 625 352 = 1225 62 = 36 162 =256 262 = 676 362 = 1296 72 = 49 172 = 289 272 = 729 372 = 1369 82 = 64 182 = 324 282 = 784 382 = 1444 92 = 81 192 = 361 292 = 841 392 = 1521

Terminação do número quadrado perfeito Terminação da raiz quadrada no número quadrado perfeito 1 1 ou 9 4 2 ou 8 5 6 4 ou 6 9 3 ou 7

Calcule a raiz quadrada dos números a seguir: √3364 √3969 √3721 √9025 √5476 √7569

Observe qual o valor somado a cada novo quadrado perfeito! 1 = 1 4 = 1 + 3 9 = 1 + 3 + 5 16 = 1 + 3 + 5 + 7 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Problema de Divisibilidade Determine a quantidade de divisores do número N = 235 – 23. b) Mostre que para todo número natural , n5 – n é múltiplo de 30.

Problema de Fatoração Fatore (a3 + ab2)2 + (a2b + b3)2. b) Escreva 133 como soma de dois quadrados perfeitos. Isto é, encontre dois números inteiros positivos x e y tais que 133 = x2 + y2.

A figura representa o traçado de uma pista de corrida A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplo, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada em A. (a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros? (b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos? (c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiro de quilômetros.

Distâncias Percorridas Saída Chegada 1 km A B 2 km C 3 km 4 km D 5 km 6 km 7 km 8 km 9 km 10 km 11 km 12 km 13 km A, B, C, D A, B, C, D respectivamente

Distâncias Percorridas Saída Chegada 1 km = 14 km = 27 km A B 2 km = 15 km = 28 km C 3 km = 16 km = 29 km 4 km = 17 km = 30 km D 5 km = 18 km = 31 km 6 km = 19 km = 32 km 7 km = 20 km = 33 km 8 km = 21 km = 34 km 9 km = 22 km = 35 km 10 km = 23 km = 36 km 11 km = 24 km = 37 km 12 km = 25 km = 38 km 13 km = 26 km = 39 km A, B, C, D A, B, C, D respectivamente

D d D = d.q + r r < d r q ALGORÍTMO DE EUCLIDES Divisor Dividendo Resto Quociente

Distâncias Percorridas Saída Chegada d = 1 + 13 n, n Є IN A B d = 2 + 13 n, n Є IN C d = 3 + 13 n, n Є IN d = 4 + 13 n, n Є IN D d = 5 + 13 n, n Є IN d = 6 + 13 n, n Є IN d = 7 + 13 n, n Є IN d = 8 + 13 n, n Є IN d = 9 + 13 n, n Є IN d = 10 + 13 n, n Є IN d = 11 + 13 n, n Є IN d = 12 + 13 n, n Є IN d = 13 n, n Є IN A, B, C, D A, B, C, D respectivamente

Ciclos Situações que acontecem com um PERÍODO previsível. Ir ao dentista de 6 em 6 meses; Rotação da Terra em 24 horas; Aparecimento de cometa de 50 em 50 anos;

Agora é possível extrair raiz de índice par de número negativo...  Número Imaginário (i) Agora é possível extrair raiz de índice par de número negativo... 

Potências de i

Potências de i

Exercícios 1) Calcule o valor das Potências de i abaixo:

2) Calcule o valor de:

Arcos no Ciclo Trigonométrico

Observe regularidades...