O que você deve saber sobre Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova O que você deve saber sobre TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Desde o teorema de Pitágoras, o longo caminho da trigonometria começa pelo estudo do triângulo retângulo e das razões entre as medidas de seus lados. Uma possibilidade de obter as razões, usada neste tópico, é partir da semelhança entre triângulos retângulos com um dos vértices coincidente.
I. Semelhança de triângulos retângulos Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova I. Semelhança de triângulos retângulos Observe esta construção: • Pontos A, B, B’ e B’’: colineares • Segmentos BC, B’C’ e B”C”: perpendiculares a AB” Consequência: triângulos retângulos ABC, AB’C’ e AB”C” semelhantes e lados correspondentes proporcionais Tendo como referência o ângulo : Lados CB, C’B’ e C”B”: catetos opostos a em cada triângulo Lados AB, AB’ e AB”: catetos adjacentes a em cada triângulo Lados AC, AC’ e AC”: hipotenusas de cada triângulo TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente Razões entre dois lados de cada um dos triângulos: Para qualquer triângulo retângulo semelhante a ABC, as razões correspondentes serão iguais às razões obtidas anteriormente. Essas três razões trigonométricas recebem os nomes de cosseno, seno e tangente do ângulo a e são definidas como: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova Trigonometria no Triângulo retângulo Clique na imagem a baixo para ver a animação. Professor: a partir dessa animação, é possível apresentar a definição de seno, cosseno e tangente. Leve os alunos a perceber que as razões entre as medidas dos lados do triângulo retângulo se conservam, independentemente do tamanho do triângulo. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º): a) o quadrado de lados l e sua diagonal: Os ângulos assinalados medem 45º: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis b) o triângulo equilátero de lados l e altura O ângulo a mede 60º. Valores de seno, cosseno e tangente: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis O ângulo denominado na figura do eslaide anterior mede 30º. Valores de seno, cosseno e tangente: Os valores das razões trigonométricas de ângulos quaisquer são dados em calculadoras científicas. Ângulos complementares: valor do seno de um deles é igual ao do cosseno; o valor da tangente de um deles é o inverso do valor da tangente do outro. Os valores da tangente desses dois ângulos são inversos um do outro. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
IV. Relação fundamental da trigonometria Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova IV. Relação fundamental da trigonometria Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 Razões trigonométricas do ângulo assinalado: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
IV. Relação fundamental da trigonometria Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova IV. Relação fundamental da trigonometria Triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 1 unidade: Triângulo ABC: Reescrevendo o teorema de Pitágoras: Relação que surge dessa nova configuração do triângulo ABC: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Sendo l1 = 30 cm e l2 = 20 cm, calcule a altura da árvore. Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova 1 (Ufla-MG) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada a, conforme a figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2. Sendo l1 = 30 cm e l2 = 20 cm, calcule a altura da árvore. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
Qual a altura do edifício? Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova 3 (Ufes) Um homem de 1,80 m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45º em relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20 m do edifício, esse ângulo aumenta para 60º. Qual a altura do edifício? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
Calcule o comprimento do segmento OF. Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova 6 (UFMG) Nesta figura, está representada uma circunferência de centro O: Sabe-se que: • os segmentos AB e BC medem, cada um, 4 cm; • a reta AB tangencia a circunferência no ponto B; • o segmento DF é perpendicular ao diâmetro BC; • E pertence à circunferência e é o ponto médio do segmento DF. Calcule o comprimento do segmento OF. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo. Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova 7 (UFC-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
RESPOSTA: Calcule: a) cos ABQ b) cos ABP c) cos QBP 10 1 ^ ^ ^ Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova 10 1 RESPOSTA: (Fuvest SP) Na figura a seguir, as cincunferencias têm centros A e B. O raio da maior é do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à cincunferência menor no ponto Q. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 5 4 Calcule: a) cos ABQ b) cos ABP c) cos QBP ^ ^ ^ TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova 11 1 (UFRJ) A figura adiante mostra duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e a OB. Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60º, calcule a medida do raio R da circunferência maior. Justifique. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
Mat-cad-1-top-6 – 3 Prova 12 1 (UFScar-SP) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir. a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo  (formado pelos lados AC e AB). b) Deduza a fórmula que dá a área SABC do triângulo, em função de b e c (comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo Â. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR