LÓGICA FORMAL

Lógica formal Cálculo Proposicional Se é dia, então, há luz. É dia, portanto, há luz; P = É dia; Q = Há luz; As proposições elementares são representadas por letras maiúsculas do alfabeto; Obs.: Cada proposição deve ser representada por uma letra diferente, ex.: (A, B, C,...).

Lógica formal Preposição Valores de verdade: V = verdadeiro; F = falso; Toda proposição, seja ela elementar ou complexa, é válida ou inválida de acordo com os valores de verdade; As complexas são funções de verdade das elementares e as elementares funções de verdade de si mesmas;

Lógica formal Preposição Elementares: representam um pensamento. P; Q; Complexas: são compostas por mais de uma proposição, complexa ou elementar, ligadas por um operador lógico; Ex.: (P → Q); [(P → Q) . (Q → R)] →( P→ R).

Lógica formal Operações lógicas ~ = negação: Inverte o valor lógico da proposição; Ex: É dia = P; não é dia = ~P; P ~P V F

Lógica formal Operações lógicas ^, ou, . = Adição lógica, ou, conjunção lógica é verdadeira quando as duas proposições são verdadeiras; Ex: É dia e há luz; P Q (P ^ Q) ou (P . Q) V F

Lógica formal Operações lógicas v = Disjunção lógica: é verdadeira quando ao menos uma das proposições é verdadeira; Ex: ou é noite, ou não há luz; P Q (P v Q) V F

Lógica formal Operações lógicas → = implicação material: é falsa sempre que a proposição antecedente for verdadeira e a proposição consequente for falsa; Exemplo: Se é dia, então há luz {se(....) então( ...)}; P Q (P → Q) V F

Lógica formal Operações lógicas ↔ = Bi-implicação Material: é verdadeira sempre que os valores de verdade são iguais; Ex: É dia, se e somente se, há luz. {(...), se e somente se, (...)}. P Q (P ↔Q) V F

Lógica formal Sinais especiais (...); [...] e {...}: São usados para separar as proposições complexas; P = Não usa sinal; P . Q = Usa-se parênteses, caso tenha uma outra operação com esta proposição complexa, ex: (P . Q) v P;

Lógica formal Sinais especiais (P. Q) ↔P = Usa-se cochetes, caso tenha uma outra operação com esta proposição complexa, ex: [(P. Q) ↔P] . (P . Q); [(P. Q) ↔P] . (P . Q) = usa-se chaves, caso tenha uma outra operação com esta proposição complexa, ex:{ [(P. Q) ↔P] . (P . Q)} v R.

Lógica formal Provas de validade São métodos utilizados para demonstrar a validade ou invalidade de uma proposição complexa; Obs.: As proposições elementares são válidas na medida em que podem ter um valor de verdade, ou V ou F. Tal valor é aferido no confronto direto com a realidade;

Lógica formal Provas de validade Tabela de verdade: Para construir a tabela de verdade faz-se necessário elevar o numero de valores de verdade ao número de proposições;

Lógica formal Provas de validade Ex: 1) (P → Q) P Q V F

Lógica formal Provas de validade 2) [(P → Q) . (Q → R)] →( P→ R) P Q R V F

Lógica formal Prova de validade lógica pela tabela de verdade 1) (P → Q) P Q (P → Q) V F

Lógica formal Prova de validade lógica pela tabela de verdade Proposição válida: Quando ela pode ver verdadeira ou falsa. Neste caso falsa na segunda linha e verdadeira nas demais linhas;

Lógica formal Prova de validade lógica pela tabela de verdade P → Q; Q → R; P→ R; Para demonstrar a validade dessa proposição, devemos colocar a adição lógica entre as proposições que funcionam como premissa, separando-as por parênteses ex: (P → Q) . (Q → R); e indicar a conclusão com a implicação lógica, separando a conclusão das premissas com cochetes;

Lógica formal Prova de validade lógica pela tabela de verdade Ex.: P Q R P → Q Q → R P → R [(P → Q) . (Q → R) [(P → Q) . (Q → R)] →( P→ R) V F

Lógica formal Prova de validade lógica pela tabela de verdade Tautologia: quando todas as possibilidades de verdade são verdadeiras; 3) (P ^ ~P) Contradição: quando todas as possibilidades de verdade são falsas. P ~P (P ^ ~P) V F

Lógica formal Prova de invalidade Consiste em atribuir valores lógicos às proposições componentes, de tal modo que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.

Lógica formal Prova de invalidade [(P → Q) . (Q → R)] → (P → R) [(P → Q) . (Q → R)] → (V → F) [(V → Q) . (Q → F)] → (F) [(V → F) . (F → F)] → (F) [(F) . (V)] → (F) [F] → (F) F → F V = Resistindo a prova de invalidade o argumento é válido.

Lógica formal Prova de invalidade – Exercícios [(P → Q) .P] → Q [(P → Q) .~P] → ~Q [(P → Q) . (Q → R)] → (P → R) [(P v Q) . ~P] → Q {[(P → Q) . (R → S) . (P v R)]} → (Q v R)

Lógica formal Prova de invalidade – Exercícios {[(P → Q) . (R → S) . (~Q v ~S)]} → (~P v ~Q) (P → Q) → [P → (P . Q)] (P . Q) → P (P . Q) → (P . Q) P → (P v Q)