Cap.7 – Análise Dimensional e semelhança 7.1 - Introdução 7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham 7.3 – Determinação dos grupos Pi 7.4 – Grupos adimensionais na mecânica dos fluidos 7.5 – Semelhança de escoamentos e estudos de modelos 7.6 – Equações diferenciais na forma adimensional

7.1 – Introdução Problema típico em mecânica dos fluidos : Diminuir arrasto aerodinâmico em veículos Equações Fundamentais Soluções Analíticas Soluções Numéricas Métodos Experimentais Protótipos em escala 1:1 Testes em modelos

V Análise Dimensional F A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluidos são caracterizados por parâmetros geométricos do escoamento e por grandezas mensuráveis do escoamento, tais como pressão, velocidade e por características físicas dos fluidos F V

V Parâmetros adimensionais F Número de Reynolds Sistema M,L,t (massa, comprimento e tempo) Número de Reynolds (parâmetro adimensional)

7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham Considerando um problema no qual um parâmetro é dependente de n-1 parâmetros independentes, pode-se escrever a função : Matematicamente, expressa-se a relação acima de forma equivalente : O teorema dos PI de Buckingham: Dada uma relação entre n parâmetros do tipo , então os n parâmetros poderão ser agrupados em (n-m) razões independentes adimensionais, os parâmetros P , que podem ser expressos por uma função :

Análise Dimensional Resultados experimentais

7.3 – Determinação dos grupos Pi Exemplo 7.1 - Força de arrasto sobre esfera lisa Passo 1 - Liste os parâmetros dimensionais envolvidos no estudo Passo 2 – Selecione um conjunto de dimensões primárias (M,L,t ou F,L,t) Passo 3 – Liste as dimensões primárias de todos os parâmetros dimensionais : Passo 4 – Selecione da lista um número de parâmetros dimensionais (que irão se repetir nos adimensionais) igual ao número de dimensões primárias (os parâmetros selecionados devem possuir todas as dimensões primárias : Passo 5 – Estabeleça equações adimensionais, combinando os parâmetros selecionados, com cada um dos outros parâmetros :

Exemplo 7.2 - Queda de pressão no escoamento em um tubo Passo 1 - Liste os parâmetros dimensionais envolvidos no estudo Passo 2 – Selecione um conjunto de dimensões primárias (M,L,t ou F,L,t) Passo 3 – Liste as dimensões primárias de todos os parâmetros dimensionais : Passo 4 – Selecione da lista um número de parâmetros dimensionais (que irão se repetir nos adimensionais) igual ao número de dimensões primárias (os parâmetros selecionados devem possuir todas as dimensões primárias : Passo 5 – Estabeleça equações adimensionais, combinando os parâmetros selecionados, com cada um dos outros parâmetros :

7.4 – Grupos adimensionais na mecânica dos fluidos Forças de inércia = Forças viscosas = Forças de pressão = Forças de gravidade = Forças de tensão superficial = Forças de compressibilidade =

Número de Reynolds : Número de Euler : Número de Froude : Forças de inércia Forças viscosas Número de Euler : Forças de pressão Forças de inércia Índice de cavitação: Número de Froude : Forças de inércia Forças gravitacionais Número de Mach : Forças de inércia Forças de compressibilidade

7.5 – Semelhança de escoamentos e estudos de modelos 1 - Semelhança geométrica Escala entre modelo e protótipo 2 - Semelhança dinâmica Parâmetros adimensionais iguais entre modelo e protótipo

Túnel de vento Tanque de simulação marítima

Velocidade do protótipo = 100 km/h Túnel de vento Velocidade do protótipo = 100 km/h Escala entre modelo e protótipo = 1-10

7.6 – Equações diferenciais na forma adimensional Conservação da massa (bidimensional): Navier- Stokes bidimensional (Conservação da Quant. de Movimento): Parâmetros adimensionais :

Substituindo nas equações fundamentais: Conservação da massa (adimensional): Conservação da Quant. de Movimento (adimensional)