Um pouco de Geometria Tropical

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Transcrição da apresentação:

Um pouco de Geometria Tropical Semana da Matemática 2013 UFJF Um pouco de Geometria Tropical Frederico Sercio Feitosa DM/UFJF

Geometria Tropical

Que figuras são essas?

RETA TROPICAL

Imre Simon (Budapeste - Hungria, 1943 – São Paulo, 2009) Geometria Tropical Por quê tropical ? Seria devido a existência de formas exóticas ? A álgebra tropical era conhecida como álgebra max-plus. Nome “tropical” dado por pesquisadores de informática da Universidade Paris 7 Imre Simon (Budapeste - Hungria, 1943 – São Paulo, 2009)

O mundo clássico pode ser degenerado até o mundo tropical. Um enunciado tropical tem muita chance de possuir um enunciado clássico similar. Os objetos tropicais são lineares por partes, logo mais simples de estudar que os seus análogos clássicos. Objetivo: Estudar objetos simples, enunciar teoremas sobre objetos complicados.

Álgebra Tropical Duas operações (tropicais) no conjunto dos números reais :

Muitas propriedades em comum com as operações clássicas dos números reais. São comutativas, associativas e vale a distributividade. Duas diferenças: Qual é o elemento neutro da adição tropical?

Para isto estendemos o conjunto dos números reais. Temos: é o conjunto dos números tropicais.

Um número real tem simétrico em relação a adição tropical ? Consequência: não está definida a subtração tropical. Observação: a adição tropical é idempotente, ou seja,

0 é o elemento neutro da multiplicação tropical. Abreviamos por Cuidado!!!

“Polinômios” Tropicais

Raízes Um polinômio tropical é uma função afim por partes. Uma raiz de P(x) é qualquer número x0 para o qual o gráfico de P(x) tenha uma “quina”

Raízes de Definição: As raízes tropicais do polinômio tropical P(x) são os números tropicais x0 para os quais existem i e j distintos tais que P(x0) = ai + ix0 = aj + jx0

Curvas tropicais Polinômio tropical em duas variáveis: Curva tropical definida por P(x,y) é o lugar das “quinas” dessa função.

Exemplo: Devemos resolver o sistema de inequações: A reta tropical é constituída das três semi-retas

Exemplo:

Exemplo:

Interseções tropicais

Bibliografia: Brugallé, Erwan. Um pouco de Geometria Tropical. Tradução: Éden Amorim (UFMG) e Nicolas Puignau (UFRJ). Revista Matemática Universitária nº 46 (2009) 27-40. Gathmann, A. Mikhalkin, G.