Divisibilidade Divisores e Múltiplos Profº: Rafael Chaves

 Vejamos os exemplos das divisões abaixo: a) 0 16 Como o resto é zero, a divisão é exata. Dizemos que 80 é divisível por 5 ou que 5 é divisor de 80. Divisores 80 5

Como o resto é quatro, a divisão não é exata. Dizemos que 84 não é divisível por 5 ou que 5 não é divisor de 84. b)b)

Dada a relação fundamental da divisão: Dividendo = divisor x quociente + resto Podemos concluir que: Resto = dividendo – divisor x quociente Exemplo: Na divisão Temos que Resto = 84 – 5 x 16, ou seja, Resto = 4. Relação fundamental da divisão

OO s critérios de divisibilidade são regras práticas que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não divisível por outro número natural. QQ ualquer número natural, com exceção do zero, tem por divisores o número 1 e ele mesmo. AA seguir apresentaremos alguns desses critérios. Critérios de divisibilidade

Um número natural será divisível por 2 quando ele for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6, 8. Exemplos: a)9734 é divisível por 2 ( termina em 4 ) b)2867 não é divisível por 2. c)1420 é divisível por 2 ( termina em 0 ) Divisibilidade por 2

Um número natural será divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3. Exemplos: a)1437 é divisível por 3, temos ( =15 ) e 15 é divisível por 3. b) 29 não é divisível por 3, temos ( 2+9+=11 ) e 11 não é divisível por 3. Divisibilidade por 3

Um número natural será divisível por 4 quando terminar em 00 ou os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4. Exemplos: a)2008 é divisível por 4 ( 08 é divisível por 4 ) b)600 é divisível por 4 ( termina em 00 ) c)427 não é divisível por 4, temos ( 27 não é divisível por 4 ) Divisibilidade por 4

Um número natural será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: a)7805 é divisível por 5 ( termina em 5 ) b)6290 é divisível por 5 ( termina em 0 ) c)1342 não é divisível por 5 Divisibilidade por 5

Um número natural será divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo. Exemplos: a)7314 é divisível por 6 ( é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo ) b)249 não é divisível por 6 ( não é divisível por 2 embora seja divisível por 3 ) Divisibilidade por 6

 Um número natural será divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar em um número divisível por 7.  Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. Divisibilidade por 7

Exemplos: a)2534 é divisível por 7, temos: Repetir o processo com este último Número (245). 253Número sem o último algarismo - 8Dobro de 4 (último algarismo) 245Diferença

A última diferença 14 é divisível por 7, logo o número 2534, também é divisível por 7. 24Número sem o último algarismo - 10Dobro de 5 (último algarismo) 14Diferença

b) 6438 não é divisível por 7, temos: Repetir o processo com este último Número (627). 643Número sem o último algarismo - 16Dobro de 8 (último algarismo) 627Diferença

A última diferença é 48 que não é divisível por 7, logo o número 6438 também não é divisível por 7. 62Número sem o último algarismo - 14Dobro de 7 (último algarismo) 48Diferença

Um número natural será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos forem divisíveis por 8. Exemplos: a)3456 é divisível por 8 ( 456 é divisível por 8 ) b)12000 é divisível por 8 ( termina em 000 ) c)951 não é divisível por 8 Divisibilidade por 8

Um número natural será divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: a)6984 é divisível por 9, temos ( =27) e 27 é divisível por 9 b)5641 não é divisível por 9, temos ( =16) e 16 não é divisível por 9 Divisibilidade por 9

Um número natural será divisível por 10 quando terminar em zero ( 0 ). Exemplos: 4580 é divisível por 10 a)74560 é divisível por 10 b)98704 não é divisível por 10 Divisibilidade por 10

 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.  O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.  Exemplos: 1) Si (soma das ordens ímpares) = = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número é divisível por 11.  2) Si (soma das ordens ímpares) = = 10 Sp (soma das ordens pares) = = 21 Si-Sp = Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: = 21. Então temos a subtração = 0. Como zero é divisível por 11, o número é divisível por 11. Divisibilidade por 11

Consideremos a e b dois números Naturais, sendo b diferente de zero. Podemos dizer que um número natural a é múltiplo de um número natural b, quando a for divisível por b ou b for divisor de a. Exemplo: O número 120 é múltiplo de 30, pois 120 é divisível por 30. Múltiplo de um número

Atividade de revisão Complete a tabela abaixo, usando os conhecimentos adquiridos nesta aula. Dividendo DivisorQuocienteResto ? 1250 ? ?

(PM SE – IBFC). Um número é composto por 3 algarismos sendo que o algarismo da centena é o 7 e o da unidade é o 4. A soma dos possíveis algarismos da dezena desse número de modo que ele seja divisível por 3 é: a) 15 b) 18 c) 12 d) 9