Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs) Resposta Impulsional Definição; Resposta no tempo de um SLIT descrito pela resposta impulsional: soma e integral de convolução; Propriedades dos SLITs e sua relação com a resposta impulsional Sistema com e sem memória; Causalidade; Estabilidade; Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional. Equações Diferenciais e às Diferenças. Resolução de equações diferenciais e às diferenças; Diagrama de blocos. Modelo de Estado Transformações de semelhança; Diagonalização; Solução da equação de estado; Cálculo da matriz de transição; Resposta impulsional.
Resposta impulsional SLIT … resposta no tempo do SLIT quando a entrada é um impulso unitário impulso unitário discreto resposta impulsional SLIT discreto SLIT impulso unitário de Dirac resposta impulsional SLIT contínuo Exemplo SLIT …
Resposta no tempo SLIT discreto O SLIT é linear O SLIT é invariante no tempo Mas (soma de convolução)
Resposta no tempo Exemplo
Propriedades da soma de convolução Comutativa: Associativa:
Propriedades da soma de convolução SLITs em série A convolução é associativa A convolução é comutativa A convolução é associativa
Propriedades da soma de convolução Distributiva em relação à adição: SLITs em paralelo A convolução é distributiva
Resposta no tempo O integral de convolução é: comutativo; associativo; SLIT contínuo integral de convolução O integral de convolução é: comutativo; associativo; distributivo em relação à adição.
Resposta no tempo Exemplo es e-s
Propriedades dos SLITs 1. Memória Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. SLIT discreto sem memória futuro da entrada presente da entrada passado da entrada SLIT contínuo sem memória
Propriedades dos SLITs 2. Causalidade Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores. presente da entrada passado da entrada futuro SLIT discreto causal SLIT contínuo causal
Propriedades dos SLITs 3. Estabilidade Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e., SLIT discreto estável A resposta impulsional de um SLIT discreto estável é uma função absolutamente somável, i.e.
Propriedades dos SLITs SLIT discreto estável Exemplo O SLIT é estável quando |a|<1 porque h(n) é absolutamente somável.
Propriedades dos SLITs 3. Estabilidade A resposta impulsional de um SLIT contínuo estável é uma função absolutamente integrável, i.e. Exemplo O SLIT é estável quando a>0 porque h(t) é absolutamente integrável.
Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional SLIT discreto Exemplo y(n) n 3 2 -1 -2 -3 1 … y(n-1) 2 1 … h(n) n 3 2 -1 -2 -3 1 …
Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional SLIT contínuo Exemplo
Equações diferenciais Sistema de 1ª ordem
Resolução de equações diferenciais Sistema contínuo Sinal de entrada: Modelo: Condição inicial:
Resolução de equações diferenciais Solução particular Solução homogénea ? ? ?
? Resolução de equações diferenciais Solução homogénea equação característica
Resolução de equações diferenciais Solução particular
Resolução de equações diferenciais Solução particular
Resolução de equações diferenciais Resposta completa ? Condição inicial + continuidade da solução
Resolução de equações diferenciais Resposta completa devido a y0 devido a x(t) regime transitório regime estacionário
Resolução de equações diferenciais rad/s; ; .
Sistema contínuo de ordem N Condições iniciais: Solução: mesma forma do sinal de entrada Equação característica Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais: nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear
Equações às diferenças Sistema discreto Sistema de 2ª ordem Condições iniciais Cálculo de para : etc
Resolução de equações às diferenças Sistema discreto Sinal de entrada: Modelo: Condição inicial:
Resolução de equações às diferenças Solução particular Solução homogénea ? ? Equação característica:
Resolução de equações às diferenças Solução particular
Resolução de equações às diferenças Resposta completa
Resolução de equações às diferenças
Sistema discreto de ordem N Condições iniciais: Solução: mesma forma do sinal de entrada Equação característica Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais: nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear
Diagrama de blocos
Diagrama de blocos Forma directa I
Diagrama de blocos
Diagrama de blocos Forma directa II
Modelo de Estado Equações de estado: Variáveis de estado Equação de saída
Modelo de Estado Vector de estado: Equações de estado: Equação de saída:
Diagrama de blocos
Diagrama de blocos Forma directa I
Diagrama de blocos Forma directa II
Modelo de Estado Equações de estado: Equação de saída
Modelo de Estado Vector de estado: Equações de estado: Equação de saída:
Contínuo Discreto Modelo de Estado estados, entradas, saídas. Equação de Estado Equação de Saída - matriz da dinâmica - matriz de entrada - matriz de saída constantes Sistema invariante no tempo
Modelo de Estado Vector de estado
Equação diferencial
Equação diferencial
Equação Diferencial vs. Modelo de Estado O modelo de estado de um sistema não é único
Transformação de semelhança Modelo I Modelo II não singular
Transformação de semelhança
Transformação de semelhança
Transformação de semelhança
Transformação de semelhança
Transformação de semelhança
Diagonalização Dada uma matriz da dinâmica A, qual a transformação de coordenadas, T, que conduz a uma matriz da dinâmica diagonal? Que condição deve satisfazer A para que exista uma transformação de coordenadas s(t)= Tz(t) com T não singular, tal que D=T-1AT seja uma matriz diagonal?
Diagonalização A matriz A é diagonalizável sse for de estrutura simples, i.e., os vectores próprios de A são linearmente independentes. Valores próprios: Vectores próprios:
Diagonalização matriz de transformação vectores próprios de coordenadas Diagonalização vectores próprios linearmente independentes
Diagonalização A é de estrutura simples sempre que: os valores próprios de A são todos distintos A é simétrica, i.e., A=AT
Solução da equação de estado Sistema discreto
Solução da equação de estado ?
é de estrutura simples? Cálculo de An A é diagonalizável:
Cálculo de An
Solução da equação de estado
Resposta no tempo do sistema
Resposta no tempo do sistema
Resposta impulsional Sistema inicialmente em repouso:
Solução da equação de estado Sistema contínuo ?
Cálculo de eAt é de estrutura simples A é diagonalizável: com Expansão em série de Taylor de eAt
Solução da equação de estado
Resposta no tempo do sistema
Resposta no tempo do sistema
Resposta impulsional Sistema inicialmente em repouso: