Estruturas Algébricas GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos Prop. distributiva GRUPO GRUPO COMUTATIVO ANEL ANEL COMUTATIVO SUBGRUPO CORPO 1

Lei de Composição Interna Nota: Lei de composição interna ou operação binária

Grupóide Exemplos: (even , +) é grupóide (odd ,+) não é grupóide

Subgrupóide

Propriedades Associativa e Comutativa Num conjunto E diz-se que:

Semigrupo e Semigrupo Comutativo Nota: comutativo ou Abeliano

Elemento Neutro Teorema: zero = el. neutro da adição  exs: (, +), (even , +), (,+) unidade = el. neutro da multiplicação  exs: (, ·), (, ·)

Elementos Opostos simétricos = els. opostos da adição inversos = els. opostos da multiplicação  exemplos semigrupo (, ·) - apenas os elementos 1 e –1 têm inverso (oposto) semigrupo (, ·) - todos os elementos têm inverso excepto o zero. Teoremas 

Elementos Opostos (Teoremas)

Grupo e Grupo Comutativo exemplo (, ·) não é grupo porque o elemento 0 não tem oposto (e não é o el. neutro!) Propriedades  Nota: comutativo ou Abeliano

Grupos (Propriedades) Exemplo ( \{0}, ·) a·x = b x·a = b x = b/a x = b/a coincidentes porque o grupo é comutativo Nota: Esta propriedade estabeleçe a existência de duas operações inversas de  que serão coincidentes se o grupo for comutativo.

Subgrupo

Propriedade Distributiva

Anel e Anel Comutativo Exemplos de Anéis Comutativos: (, +, ·)  (, +) é grupo comutativo, (, ·) é semigrupo e · é distributiva em relação a + (, +, ·), (, +, ·), (, +, ·)  têm el. unidade (el. neutro da 2ª operação) (even , +, ·)  não têm el. unidade Propriedades 

Anel (Propriedades)

Conceito de Corpo Exemplos: (, +, ·) e (, +, ·) são corpos elemento neutro da 2ª operação elementos opostos da 2ª operação elemento neutro da 1ª operação Exemplos: (, +, ·) e (, +, ·) são corpos (, +, ·) é subcorpo de (, +, ·)  (, +, ·)  (, +, ·) Propriedades 

Corpo (Propriedades)

Isabel Milho, ISEL-DEETC, Out.2001 Apresentação sobre Estruturas Algébricas Referências [1] M. Neves, M. Vieira, A. Alves, Matemática - 12º ano, 5ª ed., Porto Editora, 1991. [2] C. Ribeiro, Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica, AEISEL, 1985. [3] S. Wicker, Error Control Systems for Digital Communication and Storage, Prentice Hall, 1995.