Prof. Marcelo de Oliveira Rosa sinais Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Sinais Função de uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno 1 variável  sinal unidimensional n variáveis  sinal multidimensional Exemplos: Sinal de voz/fala e sinais biológicos Sinal de vídeo Precificação de ações (séries temporais) Movimentação de máquinas elétricas (vibração)

Sinais Quanto à(s) variável(is) independente(s) Quanto à amplitude: Contínuo (analógico) Discreto Quanto à amplitude: Quanto a aleatoriedade em amplitude: Determinístico Aleatório (Random)

Sinais Classificação Depende da discretização ou não da amplitude e da variável independente. Geralmente a variável independente será tempo (t) Casos: Amplitude contínua com tempo contínuo Sinal analógico Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo contínuo Amplitude discreta com tempo discreto Sinal digital

Sinais Para facilitar Sinais com tempo discreto  Seqüência Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo discreto

Sinais Notações Tempo contínuo: x(t) Tempo discreto: x[n] t = tempo (em segundos)  (t ∈ R) O sinal x(t) é função do tempo Tempo discreto: x[n] n = instante (adimensional)  (n ∈ Z) A seqüência x[n] é função do instante Reforçando: não existe n = 1,5, por exemplo.

Sinais Pode apresentar descontinuidades!!! A continuidade está ligada a (t ∈ R) Existem instante t0 tal que:

Sinais Sinais periódicos e não-periódicos Inclui exponenciais complexas

Sinais Sinais periódicos e não-periódicos x(t) = x(t + T), para todo t ∈ R. T é o período “fundamental” do sinal (T ∈ R+) f = 1/T  freqüência “fundamental”. Em Hertz ω = 2π/T Em radianos/s

Sinais Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos: x(t) = cos(300π t + π/3) x(t) = 10 cos(1G π t) Sinais senoidais puros x(t) = A cos(2 π f0 t + θ) θ  fase (em radianos) x(t) = 10 e-10t x(t) = 10-6 e-1000t cos(3000 π t – π/2) Sinais exponenciais complexos x(t) = A e-σ0 t [cos(2 π f0 t) + j sen(2 π f0 t)] σ0  constante de amortecimento

Sinais Sinais periódicos e não-periódicos Lembre-se: Relação de Euler e±jωt = cos(ωt) ± j sen(ωt) + cos(ωt) = Re{e±jωt} ± sen(ωt) = Im{e±jωt} Relações trigonométricas sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± sen(b) cos(a) cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sen(a) sen(b)

Sinais Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos/Exercícios

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Em algum t0: Representação de fenômenos como: Chave liga-desliga Sinais discretos/digitais Variações lineares Amostragem de sinais contínuos

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário: Descontinuidade tem t=zero. Formulação consistente com séries e transformadas de Fourier para representação de chaves liga-desliga.

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Representações alternativas do Degrau unitário: Formas ligadas a fenômenos físicos Carecem de rigor formal (teoria de Fourier) Se excitarem um sistema qualquer Produzem mesmo resultado!!!

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário Exemplos/Exercícios Demonstre que Degrau unitário formal e suas variações alternativas são equivalentes.

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Sinal unitário Indica o sinal de t Matematicamente: sgn(t) = 2 u(t) – 1 Admite versão alternativa, como u(t)

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Rampa unitária Este sinal é definido por:

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário Representação gráfica Área = 1 δ(t) t

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário Derivações importantes: Relação entre sinal impulso e sinal degrau unitário Extração de valor pontual de função genérica

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário Derivações importantes: Extração de valor pontual de função genérica Propriedade de escala

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Trem de impulsos Note que o trem de impulsos é periódico Período T = T0 Útil para representar matematicamente a amostragem. Conversão AD Impossível de criar fisicamente.

Sinais Sinais com descontinuidades/singularidades Pulso retangular unitário Pulso triangular unitário

Sinais Sinais especiais Sinc unitário Usado na reconstrução de sinais analógicos a partir de seqüências discretas (conversão DA) Gerador do fenômeno de Gibbs Veremos em transformada de Fourier

Sinais Sinais especiais Sinc unitário

Sinais Sinais especiais Sinal de Dirichlet Serve para representação matemática da conversão AD Similaridade com sinc(t) N ímpar  soma infinita de sinc(t) igualmente espaçados. N par  soma alternada de sinc(t) Compare: sinal de Dirichlet  trem de impulsos

Sinais Sinais especiais Sinal de Dirichlet

Sinais Sinais pares e ímpares Equivalente a idéia de funções pares e ímpares Sinal par: x(t) = x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado simétrico Sinal ímpar: x(t) = – x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado assimétrico Todo x(t) = xp(t) + xi(t) Como obter as partes par e ímpar de x(t)?

Sinais Sinais pares e ímpares Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais Multiplicação  Modulação Observações importantes: São realizadas ponto-a-ponto Equivalente a operações envolvendo funções Exemplo: w(t) = x(t) op y(t)  op = +, -, *, / w(t0) = x(t0) op y(t0) w(t1) = x(t1) op y(t1) ...

Sinais Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas Deslocamento temporal Operação de atraso ou avanço de sinais f(t) = g(t + t0)  f(t) está adiantado em relação a g(t) h(t) = g(t – t0)  h(t) está atrasada em relação a g(t) Dado g(t) e t0 (tempo de atraso/avanço) Exemplos: Efeito Doppler Representação de eco Atraso de propagação em meios de comunicação

Sinais Operações básicas Deslocamento temporal Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas Escala em amplitude h(t) = α g(t) Dado g(t) e α (fator de ganho) Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão

Sinais Operações básicas Escala em amplitude Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas Escala no tempo h(t) = g(t/A) Dado g(t) e A(≠zero) (fator de encolhimento/dilatação) Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão (ou inversão temporal) Disco sendo tocado de trás para frente.

Sinais Operações básicas Escala em amplitude Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas Integração/diferenciação Diferenciação de g(t) Inclinação de g(t) no instante t. Integração de g(t) Acumulação de g(t) até o instante t qualquer.

Sinais Operações básicas Integração/diferenciação Diferenciação Filtragem passa-alta Integração Filtragem passa-baixa Genericamente Diferenciação e integração são operações opostas Lembrar da constante de integração por se tratar de sinais de duração infinita.

Sinais Operações básicas Integração/diferenciação

Sinais Operações básicas Integração/diferenciação

Sinais Operações básicas Integração/diferenciação Exemplos/Exercícios

Sinais Energia e Potência de Sinais Abstração matemática Tentativa de avaliar energia transferida pelo sinal Exemplos: Corrente, fluxo de nêutrons, força aplicada, temperatura Energia de sinal Calculada para sinais para o qual Ex converge!

Sinais Energia e Potência de Sinais Potência de sinal Propício para sinais periódicos Para esses, Ex não converge (Ex oscila) Neste caso, T = T0 (período do sinal)

Sinais Energia e Potência de Sinais Classe de sinais: Sinais com energia finita Sinais com potência finita Com energia “infinita” Sinais com energia e potência infinitas

Sinais Energia e Potência de Sinais Exemplos/Exercícios