Teste da derivada 1ª, Teste da derivada 2ª e construção de gráficos Aula 17 Teste da derivada 1ª, Teste da derivada 2ª e construção de gráficos

Teste da derivada 1ª Se em um intervalo, então f é crescente nele. Se em um intervalo, então é decrescente nele.

Exemplo 1 Encontre onde a função é crescente e onde é decrescente. Solução: Para usar o teste devemos saber onde e

Exemplo 1 Isto depende do sinal dos três fatores de , isto é, e . Intervalo

Exemplo 1 O gráfico de , mostrado a seguir, confirma a informação da tabela:

Teste da Primeira Derivada Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua . Se o sinal de mudar de positivo para negativo em c, então tem um máximo local em c. (b) Se o sinal de mudar de negativo para positivo em c, então tem um mínimo local em c. (c) Se não mudar de sinal em c, então não tem máximo ou mínimo locais em c.

Teste da Primeira Derivada Máximo Local Mínimo Local

Teste da Primeira Derivada Nem máximo, nem mínimo Nem máximo, nem mínimo

Exemplo 2 Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função , . , . Solução: Para achar os números críticos de g, derivamos: Logo quando .Assim os únicos pontos críticos são e .

Exemplo 2 Analisaremos g na tabela a seguir: Intervalo g

Exemplo 2 Como o sinal de muda de positivo para negativo em , o Teste da Primeira Derivada nos diz que há um máximo local em e o valor de máximo local é de

Exemplo 2 Da mesma forma , o sinal de muda de negativo para positivo em , logo é um valor de mínimo local.

Concavidades Se o gráfico de estiver acima de todas as suas tangentes no invervalo I, então ele é dito côncavo para cima. Se o gráfico de estiver abaixo de todas as suas tangentes em I, é dito côncavo para baixo.

Concavidade Côncava para cima Côncava para baixo

Concavidade A figura a seguir mostra o gráfico de uma função que é côncava para cima (abrevia-se CC) nos intervalos (b,c), (d,e) e (e,p), e côncava para baixo (CB) nos intervalos (a,b), (c,d) e (p,q). CB CC CB CC CC CB

Teste da Concavidade Se para todo , então o gráfico de é côncavo para cima em . (b) Se para todo , então o gráfico de é côncavo para baixo em .

Ponto de Inflexão Um ponto P na curva é chamado ponto de inflexão se é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P.

Exemplo 3 Esboçe um gráfico possível de uma função que satisfaça as seguintes condições: em em em em e e em em

Exemplo 3 A condição (i) nos diz que cresce em e decresce em . A condição (ii) diz que é côncava para cima em e e côncava para baixo em . Da condição (iii) sabemos que o gráfico de tem duas assíntotas horizontais em e .

Exemplo 3 Primeiro traçamos a assíntota horizontal . Então fazemos o gráfico de tendendo a esssa assíntota no extremo esquerdo, crescente até seu máximo no ponto (condição (i)) e decrescente em direção ao eixo x na extremidade direita.

Exemplo 3 Pela condição (ii) nos asseguramos de que o gráfico de tem pontos de inflexão em e . Observe no gráfico da função que a côncavidade está para cima para e , e para baixo para .

Exemplo 3

Teste da Segunda Derivada Suponha que seja contínua na proximidade de . Se e , então tem um mínimo local em . Se e , então tem um máximo local em .

Teste da Segunda Derivada Por exemplo, a parte (a) é verdadeira, pois próximo de , e assim é côncava para cima próximo de . Isso significa que o gráfico de se situa acima de sua tangente horizontal em , de modo que tem um mínimo local em .

Exemplo 4 Comente sobre a curva com respeito a concavidade, pontos de inflexão, e máximos e mínimos locais. SOLUÇÃO: Se , então

Exemplo 4 Para encontrar os pontos críticos fazemos e obtemos e . Para usar o Teste da Segunda Derivada calculamos nesses pontos críticos: Como e é um mínimo local.

Exemplo 4 Como , o Teste da Segunda Derivada não nos dá informação sobre o ponto crítico 0. Mas como para e também para , o Teste da Primeira Derivada nos diz que não possui nem máximo nem mínimo em 0.

Exemplo 4 Como quando ou nós dividimos a reta real com esse números como extremos e completamos a seguinte tabela: Intervalo Concavidade Para cima Para baixo Para cima

Exemplo 4 O ponto é um ponto de inflexão pois a curva muda de côncava para cima para côncava para baixo nele. Também é um ponto de inflexão pois a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima nele.

Exemplo 4 Usando o mínimo local, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, fazemos um esboço do gráfico na figura a seguir:

Exemplo 4 Pontos de inflexão