Modelando com ED de 1ª ordem– alguns modelos simples As notas de aula nestas doze transparências são baseadas em H. Anton: Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p.20 a p27. Modelando com ED de 1ª ordem– alguns modelos simples O crescimento populacional: População - pessoas, animais, plantas, bactérias, ... Quando não restritos à limitações especiais, tendem a crescer à taxas proporcionais ao tamanho da população. Quanto maior é a população, mais rapidamente ela cresce.

Objetivo: Encontrar uma função que forneça o tamanho da população em um instante de tempo qualquer. Assim, se y = y(t) é a função que fornece o tamanho da população em um instante t qualquer e sendo a taxa de crescimento proporcional ao tamanho da população e K a constante de proporcionalidade, então A taxa de crescimento dessa população é:

A equação diferencial de 1ª ordem é linear e a solução é Se no instante inicial t0 a população inicial é y0, temos o problema de valor inicial: e y(o)=y0 A equação diferencial de 1ª ordem é linear e a solução é solução geral e é a solução do problema de valor inicial e y(o)=y0

Exemplo (Anton, p.24): De acordo com os dados das Nações Unidas, a população mundial no começo de 1990 era de 5,3 bilhões (aproximadamente) e crescendo a uma taxa em torno de 2% ao ano. Supondo exponencial o modelo de crescimento (e mantida essa taxa anual) estimar a população mundial em: a) 2010; b) 2015; Exemplo (Anton, p.34 (número 42): Uma quantidade y tem modelo de crescimento exponencial y = y0ekt. Sabe-se que y = y1 quando t = t1. Encontrar k em termos de y0, y1 e t1.

2. Farmacologia: Quando um indivíduo ingere um remédio, este entra na corrente sanguínea e é absorvida pelo organismo no decorrer do tempo. Pesquisas médicas indicam que a quantidade da droga presente nessa corrente tende a decrescer a uma taxa proporcional à quantidade de droga presente (quanto mais droga estiver na corrente sanguínea, mais rapidamente ela será absorvida pelo organismo. Problema: Encontrar a quantidade de medicamento presente no organismo no instante t.

Objetivo: Encontrar uma função que forneça a quantidade de medicamento presente no organismo no instante t Assim, se y = y(t) é a função que fornece a quantidade de medicamento no organismo em um instante t e sendo a taxa de decrescimento proporcional à quantidade presente no organismo e K a constante de proporcionalidade, então a taxa de decrescimento dessa quantidade é onde k é positivo e o sinal negativo ocorre porque y decresce com o tempo

Assim, Se a dosagem inicial da droga é conhecida e igual a y0 temos um problema de valor inicial e y0 = y(0) Resolvendo esse problema, encontramos solução geral e é a solução do problema de valor inicial e y0 = y(0)

Modelos de crescimento exponencial Definição: Dizemos que uma quantidade y = y(t) tem um modelo de crescimento exponencial se ela crescer a uma taxa que é proporcional ao tamanho da quantidade presente. Neste caso temos o problema de valor inicial e sendo y(o) = y0 Com solução:

Modelos de decaimento exponencial Definição: Dizemos que uma quantidade y = y(t) tem um modelo de decaimento exponencial se ela decrescer a uma taxa que é proporcional ao tamanho da quantidade presente. Neste caso: e sendo y(o) = y0 Com solução:

Ex: (Anton, p.25): Decaimento radioativo (desintegração espontânea de elementos radioativos). Experimentos têm mostrado que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade de elemento presente. Portanto, a quantidade y = y(t) de elemento radioativo é função do tempo com um modelo de decaimento exponencial. Se 100 gramas do carbono-14, cuja constante de decaimento é aproximadamente 0,000121, forem armazenados em uma caverna, quanto restará do carbono após 1000 anos? Em quanto tempo quantidade de Carbono estará reduzida pela metade?

Tempo de duplicação e meia vida Se uma quantidade y tem um modelo de crescimento exponencial então o tempo necessário para duplicar o tamanho inicial é Se uma quantidade y tem um modelo de decrescimento exponencial então o tempo necessário para que o tamanho inicial seja reduzido pela metade (meia vida) é

y0 y0/2 y0/4 y0/8